材料力学求应力公式：材料力学第5章应力计算

这个部分是整个材料力学最难也是最需要注意的地方，但是对于我们工程师来说很多时候掌握了前面的部分之后，依据现在强大的工具手册和电脑软件很多工作尤其是复杂的计算问题让电脑代替也不失为一种好的选择，所以我接下来的笔记中也不会整理非常复杂的计算内容，关键是几个典型的结构以及必要的概念要和大家介绍。

图 5.1 杆件的拉伸

我们首先回忆下，杆件的拉伸正应力和正应变的计算方法：

正应力 σ=P/s=P/πr2

正应变 ε=λ/L

等式中的 λ 为杆件的实际伸长量同时在之前的章节中我们也知道正应力和正应变的关系：

正应力 σ=杨氏模量 E×正应变 ε

在实际的设计当中，材料的实际屈服应力将是正应力的衡量指标，也就是说一旦材料定了，σ 就是唯一确定的量，而这三个式子中一般只有 r 和 λ 是我们需要求得的量。所以我们将材料屈服强度的具体数值，以及结构设计的载荷得到，我们就能得到图 5.1 杆件圆截面半径 r 的具体值，此时我们再把这些数值都放进正应力 σ=杨氏模量 E×正应变 ε 这个等式中，我们就能很快求出 λ 这个数值。

我以一个例子给大家说明下：

以图 5.1 的产品形状，假设我们使用的材料是 Q235，杨氏模量为 200000Mpa，产品安全系数为 1.2，设计的长度为 1m，（1）在 10000N 的载荷下材料安全；（2）在 10000N 的载荷情况下保证结构的变形量小于 0.5mm

实际最基本的设计要求无非就是保证以下两个问题：（1）强度安全或者（2）刚度安全，所以如果是（1），那只要借用第一个公式来进行计算即可：

235/1.2=10000/πr2，得到 r=4mm

但是如果是按照（2）的要求，那这时候我们必须用变形要求去反推 r 的值，同时还要验证这个时候的 r 应力是否满足强度的要求：

根据 ε=λ/L，得到 ε=0.0005；σ= E×ε，得到 σ=100 Mpa，小于安全系数下的 195 Mpa，

所以强度符合要求。于是此时的 σ=P/s=P/πr2，得到 r=5.65mm，这里实际计算四舍五入应该是 5.64mm，但是我个人认为在这个时候的设计四舍五入这个应该不符合设计要求，必须都是往前进，因为如果舍去之后实际的安全系数变成了 1.19-1.2 之间的一个值，这样其实安全系数是变小，所以实际设计考虑本人都是只要有尾数，无论多少，都是入的。

这是一个最基本的例子，这时候很多人在实际设计当中会说，标准要求安全系数 1.2，那我放到 1.3 或者 1.4 等等，这个现象在我们的实际设计中非常普遍。这件事我有必要说明，其实安全系数 1.2 这个值理论上是考虑了当前社会的平均材料生产水平、加工水平、制造水平以及该产品的安装水平制定出来的一个数值，在不同的时期，这个数值肯定会有一定的变化，所以理论上标准制定的这个安全系数已经把这些问题都考虑了。但是中国国内的大多数标准的制定并不是按照我们自身的实际情况来做的，很多标准都是直接翻译欧美等西方国家的标准，所以这时候出现一个问题，欧美等国的制造业水平远远高于我们，所以他们的安全系数未必适合我们国家的实际国情，这就会对我们设计人员造成很大的影响。所以很多时候我们会根据实际的经验再去适当调整标准的安全系数。

图 5.2 内力分布不均匀

之前说的是最简单的情况，实际由于结构形状的复杂，往往在一个截面上的受力都会按照图 5.2 这样不均匀分布，那势必造成局部应力比较大的情况，这个时候，虽然平均应力是满足安全系数要求，但是不能保证局部应力也保证要求。这时候如果是要通过理论推导一点点计算那就复杂了，然而事实上根本不需要，前辈们早就把产品理论计算的经验系数统计出来并写在计算公式里，你只要按照相关的工程要求乘以一个安全系数就完全不用担心应力有什么问题，所以其实我觉得太复杂的力学计算练习题没时间的工程师也不需要去学习，了解了基础能看懂标准上的计算公式就够了。之前是最简单的应力应变计算问题，接下来我们针对扭转和弯曲来说明应力计算问题。

杆件的扭转问题

之前在应变问题的分析的时候我们知道，扭转所产生的应变其实就是剪应变，所以当杆件发生扭转变形的时候，在截面上所产生的扭转应力即为剪应力（扭转应力的本质实为剪应力）。

图 5.3 扭转变形

我们首先通过图 5.3 从剪应力 τ=剪切模量 G×剪应变 γ 和 γ= rφ/L 这两个公式出发来考察下剪应力计算公式：

剪应力 τ= Grφ/L

通过计算公式我们看出，随着 r 的增加，扭转应力越大，即扭转应力随着距离圆心越远，

应力越大，应力分布如图 5.4 所示。

图 5.4 扭转应力分布

但是这个公式里面还有一个问题就是 φ 角的计算，实际设计中，我们不可能直接知道 φ角的大小，而是知道图 5.3 中 MT 的大小，所以如何通过 MT 计算出结构的应力大小才是关键。所以接下来我们就一步一步推导 MT 和 τ 的关系：

图 5.5 微元受到的力

非常不幸，我们这里将不得不面对微积分问题，所以我会用最简单的术语去描述。微元的概念在之前已经提到过，这里就不再重复，我们直接使用。微元的面积为 dA，所以任意微元圆面上的载荷 dF=τdA，因为 τ= Grφ/L，所以 dF= Grφ/LdA，此时的力矩就为 rdF，如图5.6 所示，同时 φ/L 我们引进一个新的名词：扭转率用 ω 表示，所以等式最终变为：

rdF= Gr2ωdA

接下来我们将用积分将整个截面的微力矩相加。

图 5.6 微力矩

图 5.7 力矩积分

图 5.7 的积分就是截面 A 的扭矩积分公式，由于 Gω 和面积 A 的函数是无关的量，所以可以提取出来：

图 5.8 最终推导的计算公式

如果到这一步你突然觉得之前所有的一切都没有看懂，没关系！之前所说的都是整个

扭转应力的推导问题，只要理解其大致的含义即可，不需要完全记住，作为工程师，你只要

记住下面三件事情：

1. MT=G* IP * ω，IP 为截面极惯性矩，又称为截面二次极矩；

2. 各种截面形状的 IP 值被收录在各种工具手册和标准手册里，实际计算不会涉及到如此复杂的积分问题，基本只要利用 MT=G*IP* ω 套用现成的公式即可；

3. MT=G*IP* ω，于是 Gω= MT /IP，带入到 τ= Grω，得到 τ= MT* r / IP，这个就是扭转应力的计算公式。

弯曲问题：

同样的，在弯曲的推导过程中一样会出现一个类似的参数和等式：

σ= MB y/ I

具体的推导过程为了不让大家感到厌烦，就不再叙述。但是同样的，首先弯曲应力通过之前章节的弯曲变形我们知道，弯曲问题其实就是拉压问题的衍生，所计算出的应力和应变均为正应力正应变；其次 I 为截面惯性矩，各种截面形状的 I 值被收录在各种工具手册和标准手册里，工程师通过查表套用计算公式即可。

图 5.9 弯曲应力和扭转应力公式对比

将这两个公式放在一起对比就能看出，其实两种应力的最终计算形式是完全一致！所以发现这些规律会非常方便大家记住这些计算公式。强调下截面惯性矩和极惯性矩的最大区别，大家在之后的学习中自己注意。截面惯性矩是针对一个中性面的计算，用于弯曲计算；而截面极惯性矩是根据某一中心点的计算，在扭转问题中使用。所以我们工程师在这个概念原则上是要牢牢记住的，但是目前由于网络资源的发达，很多知识并不一定要记在脑子里，只需要在印象中知道有这么两个东西以及他们的区别，实际应用的时候借助网络重新巩固也是很好的一种方法。

总结

这份读书笔记并不能代替材料力学的系统学习，但是能够帮助学习者更具体地去理解材料力学的实际意义，在学习材料力学之前能有一个形象的认识和理解，这样再去看我们目前市面上比较生涩的教材会很有帮助。这份笔记中还有像摩尔圆问题、主应力计算问题、力矩图这些比较难的问题都没有涉及到，还是需要学习者去翻开

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