指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)

最近学习了一个积分极限的近似计算方法,感觉很不错,分享一下。

要估计的积分具有如下指数积分形式:

指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)(1)

参数λ恒大于零,而A(x)是一个光滑函数。要求近似估计如下积分

指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)(2)

注意:这里并不是要计算这个积分极限,而是给出当λ趋于0时,上述积分的一种渐进表达式。区别就如同下面两个式子(i)和(ii):显然,(i)包含的信息要比(ii)多得多。

指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)(3)

这里也希望找到一个类似(i)的近似表达式。

首先观察积分形式,是一种指数积分形式,当正参数λ趋于0时,指数A(x)/λ趋于正无穷,从而-A(x)/λ趋于负无穷,这个积分应该是收敛的。

如何估计上述积分呢?这里用到了非常简单的数学思想:

对一个大于零的实变函数,其在整个实轴上的积分,可由被积函数在取得最大值的一小块邻域上的积分近似。

即:

指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)(4)

指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)(5)

原问题中被积函数e^(-A(x)/λ)就相当于上图中f(x)的位置。

回到原问题。

假设函数A(x)在x = xc处有一个最小值,那么对应到相应的指数函数e^(-A(x)),显然将在x = xc处取最大值。特别地,当正参数λ趋于0时,指数函数e^(-A(x)/λ)趋于0,在x = xc处指数函数取到最大值,其趋于0的速度最慢,这一小块邻域的积分将在整个积分中占主导地位!

基于上述思想,我们来给出原指数积分的一种渐进表达式。

假设x = xc是函数A(x) 的最小值点,于是在xc的附近的一小块邻域上,我们有

指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)(6)

既然积分区间已经放到了以xc为中心的一小块邻域上,那么自然地,我们可以用更简单的多项式函数来近似代替A(x),即考虑A(x)在x = xc处的Taylor展开:

指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)(7)

由于x = xc是函数A(x) 的最小值点,那么A(x)在该点处的导数为零,二阶导数大于零(后面会用到)。于是,我们舍弃2次以上的高阶项,有

指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)(8)

代入积分表达式中,有

指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)(9)

问题就转化为估计:

指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)(10)

首先,可以将被积函数中的常数项提到积分外,即

指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)(11)

有没有发现,以上数学步骤之间存在一个矛盾:一方面,为了让xc的附近的一小块邻域能够更准确地估计整个积分,这个邻域应该越大越好;另一方面,为了使A(x)的二阶Taylor级数能够更准确地估计原函数A(x),这个邻域又应该越小越好。

我们做变量代换

指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)(12)

上述积分变为

指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)(13)

当正参数λ趋于0时,上述积分将趋近于

指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)(14)

根据Gauss积分

指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)(15)

我们最终得到

指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)(16)

指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)(17)

(这里就用到了二阶导数大于零)


根据以上公式,我们可以很容易地推导Stirling公式。

首先,根据欧拉对阶乘函数的推广,有

指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)(18)

之前得到的公式中,被积函数是一个指数函数,因此将x^n改写成指数形式,于是

指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)(19)

先求函数x - nlnx的最小值点:求导,得

指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)(20)

当x=n时取极值。显然,这个依赖于n的极值点不是我们希望的极值点。

做变量代换y = x/n,即x = yn,于是上述积分变为

指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)(21)

其中的常数部分可提取到积分前面,于是

指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)(22)

当n趋于正无穷时,1/n趋于零,这里1/n就相当于原问题中的λ。函数A(y) = y - lny。显然yc = 1是函数的最小值点,即

指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)(23)

代入渐进公式

指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)(24)

立得

指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)(25)

整理一下,即得Stirling公式:

指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)(26)

根据以上积分估计的思想,在进行Taylor展开时,我们可以保留更高阶的项,得到更精确的近似表达式,从而改进Stirling公式,提出更精确的阶乘近似表达式。


上述渐进计算公式在物理学中也有广泛应用,如Feynman路径积分、精细结构常数的计算等等。

指数函数的近似计算(一种关于指数积分的近似计算方法)(27)

Feynman

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