指数函数的近似计算（一种关于指数积分的近似计算方法）

最近学习了一个积分极限的近似计算方法，感觉很不错，分享一下。

要估计的积分具有如下指数积分形式：

参数λ恒大于零，而A(x)是一个光滑函数。要求近似估计如下积分

注意：这里并不是要计算这个积分极限，而是给出当λ趋于0时，上述积分的一种渐进表达式。区别就如同下面两个式子（i)和（ii）：显然，（i)包含的信息要比（ii)多得多。

这里也希望找到一个类似(i)的近似表达式。

首先观察积分形式，是一种指数积分形式，当正参数λ趋于0时，指数A(x)/λ趋于正无穷，从而-A(x)/λ趋于负无穷，这个积分应该是收敛的。

如何估计上述积分呢？这里用到了非常简单的数学思想：

对一个大于零的实变函数，其在整个实轴上的积分，可由被积函数在取得最大值的一小块邻域上的积分近似。

即：

且

原问题中被积函数e^(-A(x)/λ)就相当于上图中f(x)的位置。

回到原问题。

假设函数A(x)在x = xc处有一个最小值，那么对应到相应的指数函数e^(-A(x))，显然将在x = xc处取最大值。特别地，当正参数λ趋于0时，指数函数e^(-A(x)/λ)趋于0，在x = xc处指数函数取到最大值，其趋于0的速度最慢，这一小块邻域的积分将在整个积分中占主导地位！

基于上述思想，我们来给出原指数积分的一种渐进表达式。

假设x = xc是函数A(x) 的最小值点，于是在xc的附近的一小块邻域上，我们有

既然积分区间已经放到了以xc为中心的一小块邻域上，那么自然地，我们可以用更简单的多项式函数来近似代替A(x)，即考虑A(x)在x = xc处的Taylor展开：

由于x = xc是函数A(x) 的最小值点，那么A(x)在该点处的导数为零，二阶导数大于零（后面会用到）。于是，我们舍弃2次以上的高阶项，有

代入积分表达式中，有

问题就转化为估计：

首先，可以将被积函数中的常数项提到积分外，即

有没有发现，以上数学步骤之间存在一个矛盾：一方面，为了让xc的附近的一小块邻域能够更准确地估计整个积分，这个邻域应该越大越好；另一方面，为了使A(x)的二阶Taylor级数能够更准确地估计原函数A(x)，这个邻域又应该越小越好。

我们做变量代换

上述积分变为

当正参数λ趋于0时，上述积分将趋近于

根据Gauss积分

我们最终得到

即

（这里就用到了二阶导数大于零）

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根据以上公式，我们可以很容易地推导Stirling公式。

首先，根据欧拉对阶乘函数的推广，有

之前得到的公式中，被积函数是一个指数函数，因此将x^n改写成指数形式，于是

先求函数x - nlnx的最小值点：求导，得

当x=n时取极值。显然，这个依赖于n的极值点不是我们希望的极值点。

做变量代换y = x/n，即x = yn，于是上述积分变为

其中的常数部分可提取到积分前面，于是

当n趋于正无穷时，1/n趋于零，这里1/n就相当于原问题中的λ。函数A(y) = y - lny。显然yc = 1是函数的最小值点，即

代入渐进公式

立得

整理一下，即得Stirling公式：

根据以上积分估计的思想，在进行Taylor展开时，我们可以保留更高阶的项，得到更精确的近似表达式，从而改进Stirling公式，提出更精确的阶乘近似表达式。

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上述渐进计算公式在物理学中也有广泛应用，如Feynman路径积分、精细结构常数的计算等等。

Feynman

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