自然数列求和计算题（经典初中代数数列求和计算题）

计算：1² 2² … 100²先说结果：1² 2² … n² = n(n 1)(2n 1)/6，下面我们就来聊聊关于自然数列求和计算题?接下来我们就一起去了解一下吧!

自然数列求和计算题

计算：1² 2² … 100²

先说结果：1² 2² … n² = n(n 1)(2n 1)/6

这是一个现成的结论，是平方和求和公式，可以直接使用。但是如何证明呢？

先说一个证明这类问题不用动脑子的方法：数学归纳法。

初中是没学数学归纳法的，但是可以参考一下证明方法，顺便了解一下数学归纳法的思想。

证明：1² 2² … n² = n(n 1)(2n 1)/6

当n=1时，结论成立。

假设n时结论成立，即1² 2² … n² = n(n 1)(2n 1)/6

当n=n 1时：

命题得证。

现在我们不把这个结论作为已知的结论来证明，我们只求这个算式，那么该怎么办？还是裂项法吗？我是没有尝试出来，有懂的大师可以指点一下。

这个表达式的计算使用了一种较为巧妙的构造方法，使用三次方的展开，一般情况不太容易想到，下面记录一下。

立方和展开公式为：

(x y)³=x³ 3xy² 3x²y y³

于是有：

(x 1)³-x³= x³ 3x² 3x 1-x³=3x² 3x 1

那么：

2³-1³=3×1² 3×1 1

3³-2³=3×2² 3×2 1

…

(n 1)³-n³=3n² 3n 1

全部相加，可以得到：

(n 1)³-1=3(1² 2² … n²) 3(1 2 … n) n

到这里，已经凑出来1² 2² … n²的形式，只有1 2 … n需要进一步计算。

计算1 2 … n需要用到一个高中阶段等差数列的求和公式，但是初中阶段完全可以自行推导。先说结论

1 2 … n=n(n 1)/2

这个很容易证明，使用倒序对应项相加来求。

S=1 2 … (n-1) n

S=n (n-1) … 2 1

将两式的对应项逐对相加，有：

2S=(n 1) (n 1) … (n 1) （总共n项）

那么S=n(n 1)/2

我们再代入(n 1)³-1=3(1² 2² … n²) 3(1 2 … n) n，计算得：

这是一个可以直接拿来使用的公式。现在当n=100时，就容易计算了吧。