八卦和二进制是什么关系（莱布尼茨二进制与易经关系）

关于莱布尼茨与白晋就二进制的讨论，大体形成两种意见一种是白晋寄给莱布尼茨邵雍的六十四卦方圆图，致使受其启发，发明二进制;另一种认为，莱布尼茨独立发明二进制，六十四卦图排列恰好符合二进制而已就这个问题仔细梳理一番，得肇迹于白晋与莱布尼茨的最初通信，下面我们就来聊聊关于八卦和二进制是什么关系?接下来我们就一起去了解一下吧!

八卦和二进制是什么关系

关于莱布尼茨与白晋就二进制的讨论，大体形成两种意见。一种是白晋寄给莱布尼茨邵雍的六十四卦方圆图，致使受其启发，发明二进制;另一种认为，莱布尼茨独立发明二进制，六十四卦图排列恰好符合二进制而已。就这个问题仔细梳理一番，得肇迹于白晋与莱布尼茨的最初通信。

1698年第莱布尼茨在维尼乌斯的通信中提到白晋给他介绍了中国古老的符号，正是《周易》。莱布尼茨说:“自青年时代起，我就想着创建一种新的文字，使它不仅能像中文那样表意，还能对许多我们现在还只能作模糊推理的东西作精确计算。”表明莱布尼茨对二进制的设计绝非一时之冲动，而是从年轻时起就有初步的想法。

1700年11月18号白晋给莱布尼茨的通信中第一次提出，通过对伏羲八卦图的研究，他认为:“《易经》是中国最古老的一部著作，或许也是世界上最古老的。它是中国所有科学和传统的真正来源。在莱布尼茨在接到白晋1700年11月18日的信后，1701年2月15日给白晋回了信，在这封信中莱布尼茨第一次明确提出了二进制，并详细向白晋介绍了二进制的基本运算方法:我不知道过去给您的信里有没有提过一种我新发明的算术法则，不是用于普通计算，而是用于科学理论的建立，因为它给新定理的确立提供了广阔空间，特别是这种计算方法出色地体现了基督教的创世说。根据这套方法，所有数字都写成是单位1和0的结合体，很像一切的创造物都只是来自上帝与虚无。数学里没有什么能比这个能更完美地为宗教服务，并证实基督教里最重要问题中的一个，而这些问题都是非基督教哲学惯于异口同声否定的。我们也有理由说:一切精华就好像数字，而一切事物的缺陷由否定构成，因此圣奥古斯丁说得好:丑恶来自虚无。以下就是我的计算方法:一般我们习惯于使用十进制，而既然已经有人使用了别的进位方法，我就想研究最简单的进位方法，也就是二进制，或者说双几何进制。

首先，因为十进制只使用10个字符计数，即从0到9，那么二进制就只使用两个，即0和1。既然十进制里，10表示十，100表示一百，1000表示一千，10000表示一万，100000表示十万，1000000表示一百万，以此类推;那么我认为二进制里，10是二，100是四，1000是八，10000是十六，100000是三十二，1000000是六十四，以此类推。这就是假如我们只使用两个字符0和1时计算产生的结果，因为1 1相当于10，而3是10 1=11，4是11 1=100。因为1 1相当于10，也就是说，第一位上为0，进一位到第二位上是1，进位用圆点表示。第二位上仍是1 1需进位，于是第二位上为0，第三位上是1，这样写出来是100，就像我用标记在边上空白处注解的一样，圆点表示进位。同理可得出:5就是100 1=101，6是101 1=110，7是110 1，即111，8是111 1即1000，以此类推。用标记的表格列举了从0到32各数字的表示法，每一数位前的空白处填满了小o以便表现我马上会谈到的循环数节。初看这张表格会发现它有着奇妙的和谐，每一数位都有规则的循环数节，第一位上是01，出现的是010101……，总是0与1交替出现，第二位上是0011重复出现，第三位上是00001111，第四位上是0000000011111111，以此类推。因此我们可以不用计算就可以将表格接着补充写下去。

这样组成数字的规则为一种从未有人想过的崭新科学开启了大门。因为既然将所有数字都分解为0和1是最为完美和透彻的方法，我们自然可以通过这一方法深入进一步研究。此外，我还发现3、5、7的倍数，即可被3、5、7除尽的数也有无限循环的数节，比方说3的倍数，第一位上的循环数节是01，第二位是0110，第三位上是00101101，第四位上是0001110011100011，以此类推，这些都可以从表格中看到。5、7、9等的倍数也一样，而且一般在倍数里前一半的循环数节与后一半正好相反，即0对1或者倒过来1对0。此外，平方数、立方数及其他乘方数都有这样的循环数节，比方说平方数，第一位上的数节是01，第二位上是0，第三位上是0010，第四位上是00010100，第五位上是0000110101011000。立方数第一位上是01，第二位上是0001，第三位上是00000101，其他的以此类推。这样一来，通过这一奇妙的方法，最高次幂的表格也能不用计算就写出来，除了用于思考，应该还可以将它派上更大的用场。简言之，这其中蕴藏着一门崭新的算术，奇妙地孕育在各种定理之中，因为无论在哪一系列之下，数字的表现总是有规律的。它完全不是用来做普通的正确计算的，而是用来解决我们熟知的其他方法无法解答的问题。这方面我就不赘言了，结束这一话题之前，我再补充一个有趣的发现，这样大家就能一下子明白为什么所有数字都能在双几何进制或二进制下通过唯一的组合加以表现，这也是算术家们发现的该进制的一个优越性。比方说:23是16 4 2 1，也就是10000 10 10 1或直接等于10111;113是64 32 16 1，也就是1000000 100000 10000 1，即1110001，其他的以此类推;正是依照同样的道理，货币的鉴定师们才使用几何级数的砝码，这样，少量的砝码就足以称量大量沉重的钱币。比方说要组成1至63这些数目，我们只需要6个数字或6个砝码，即1，2，4，8，16，32。要组成1至31只需5个，即1，2，4，8，16。（这在计算机里广泛运用，储存方便）

这说明至少在1701年2月莱布尼茨的二进制已经十分成熟了。尽管莱布尼茨说中国古代《易经》六十四卦演算就是二进制算术:“这种算术是这位伟大的创造者所掌握而在几千年之后由我发现的。但这只能说是莱布尼茨对中国古代文化的一个猜想。把邵雍的八卦图说成就是二进制，从而说二进制是国人所发明的，这显然目前从中国数学史上得不到证实。

这点，笔者赞成孙小礼教授的以下观点:莱布尼茨的上述猜想，正是一个至今未能得到证实的猜想。为在易图中虽然有与0和1相对应的符号:阴爻一一和阳爻一;虽然有与从0到63的二进制数相对应的六十四个六爻排列。但是迄今为止，在《周易》中或在中国的其他古籍中，并未看到用阴爻和阳爻这两个符号写出一切数字的明确规则。有人误以为六爻排列就是中国的二进制记数法，其实，与数字64的二进制表示式1000000相对应，就必须是七爻排列;与数字128的二进制表示式10000000相对应，就必须是八爻排列……再者，在中国的古籍中，从未看到用阴爻和阳爻来进行数学运算，如加、减、乘、除四则运算等，因而也看不出阴爻和阳爻具有0和1在数学运算中的功能，如0加某数仍等于某数，乘某数则等于.1乘某数仍等于某数等.然而在莱布尼茨1679年的论文稿中，用0和1两个记号写出一切数的规则和进行四则运算的规则，都已叙述得十分清楚.相比之下，说中国古代已有二进制算术，只能是莱布尼茨的一个至今不能被证实的猜想。

通过我们对白晋与莱布尼茨通信的研究，还原了两人通信的历史细节。白晋与莱布尼茨的通信与交往是中国和欧洲之间文化交流史上最精彩的篇章。白晋作为中国和欧洲之间的文化摆渡人，推动了莱布尼茨对中国的认识。两人的合作推动了欧洲早期汉学的发展。白晋的《康熙皇帝传》因莱布尼茨而在欧洲产生了更大的影响;而莱布尼茨与白晋为代表的来华耶稣会士的交往，催生了德国历史上第一本汉学著作《中国近事》的出版。白晋的《易经》研究显然影响了莱布尼茨，虽然不能说莱布尼茨的二进制是在看了白晋的通信后才形成的，但白晋的通信无疑使莱布尼茨最终定下了修改自己的论文并再次提交关于二进制论文的决定。这是一个交错的文化史，莱布尼茨功不可没，但中国文化的影响亦不可抹。

来源：张西平.莱布尼茨和白晋关于二进制与《易经》的讨论[J].中国哲学史,2020(06):5-14.