做功的两个必要条件 做功那些事二

变力的功

自从学了能量以后，大家也就发现了，做功是我们必须掌握的基本技巧，而公式W＝FScos只能解决恒力做功，今天我们就来聊一聊高中常见到的变力的做功情况，希望对大家特别是新同学有所帮助。

一、动能定理

　　用动能定理解决变力功几乎占高中阶段90%以上，是最常用的求变力做功的方法。

　　动能定理的内容为：各个力做功之和等于动能的改变量。

对于一个物体在某个过程中的初动能和末动能可求，该过程其它力做功可求，那么该过程中変力做功可求。这样的题目比较多，这里简单列举一个小例题，大家主要是学会它的思想。

例１：如图所示，原来质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置.用水平拉力F将小球缓慢地拉到细线与竖直方向成θ角的位置的过程中，拉力F做功为( )　　　　　　

【解析】此处在拉动的过程中Ｆ是变力，所以Ｂ项是错误的。小球的运动过程是缓慢的，可以认为球的速度不变，小球上升过程中只有重力和拉力做功，而整个过程的动能改变为零，可用动能定理求解：

所以

，故D正确。

二、运用F-S图像中的面积求变力做功

此方法在高中阶段用的也比较频繁，如果能够画出変力F与位移S的图像，则F-S图像中与S轴所围的面积表示该过程中変力F做的功。运用F-S图像中的面积求变力做功的关键是先表示出変力F与位移S的函数关系，再在画出F-S图像。

例２：用铁锤将一铁钉击入木块，设阻力与钉子进入木板的深度成正比，每次击钉时锤子对钉子做的功相同，已知第一次击后钉子进入木板1cm，则第二次击钉子进入木板的深度为多少？

【解析】铁锤每次做功都是用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F=kx，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出F－x图象，如上图，函数线与x轴所夹阴影部分面积的值等于F对铁钉做的功.由于两次做功相等，故有：S1=S2(面积) 即：

所以第二次击钉子进入木板的深度为：

得

例３、一质量为Ｍ的均匀的铁链总长为Ｌ，如图左边是光滑的，右过粗糙，铁链与粗糙面的摩擦因数为，现将铁链完全拉入粗糙面的过程中摩擦力做功多少？

【解析】根据摩擦力的公式=N

这里Ｎ随着进入粗糙部分的质量变化而变化，设进入长度为x,则进入部分的质量为

所以我们发现这里f 与x成正比例关系，即线性关系，

所以f做功为三角形面积，完全进入时有 x=L,

所以做功为

三、力Ｆ取平均值

这种方法只是上面这种的一种特殊情况，只有在力相对于位移x线性变化的情况下，才能取平均值，所以这种方法大家不需要深入去研究，重心就放在第二种方法上。

四、一个特殊的力做功：机车的牵引力做功W=Pt

机车的启动问题是高中一个比较特殊的题目，这个题目大家应该把它当做一个知识点记下来，而不是一个题目。如果在某个过程中保持功率P恒定，随着机车或物体速度的改变，牵引力也改变，要求该过程中牵引力的功，可以通过W=Pt求変力做功。

例４：质量为m的汽车，在平直公路上以p的恒定功率从静止开始启动，速度达到最大速度v时.运动的位移为x,运动过程中汽车所受的阻力不变.求汽车运动的时间.

【解析】牵引力是変力，该过程中保持功率P恒定，牵引力的功可以通过W=Pt来求。汽车加速运动的时间为t1，由动能定理得：

五、运用微元法求变力做功

微元的思想是高中一种很重要的思想，但这一块用到的不多，高中主要应用摩擦力求功‘。

例５，力Ｆ拉着物体在水平面内做半径为r的圆周运动，则运动一周的过程中摩擦力做了多少的功？

【解析】物体在运动过程中，f始终与v相反，所以这里f大小不变但方向不但变化，此时我们可以将整个圆周化为一个个很小的微元，每一个微元中都可以认为f大小不变，方向也不变，所以f 的功可表示为:

大家只要看见摩擦力大小不变都可以想到这种方法

六、化变力为恒力

　　变力做功直接求解时,往往都比较复杂,若通过转换研究对象,有时可以化为恒力,用W=Flcos α求解。此方法常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。

【典例6】如图所示,固定的光滑竖直杆上套着一个滑块,滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O。现以大小不变的拉力F=

mg拉绳,使滑块从A点起由静止开始上升。已知滑块的质量为m,滑轮O到竖直杆的距离为d,∠OAO'=37°,∠OCO'=53°,重力加速度为g,sin 37°=0.6

cos 37°=0.8。求:

滑块由A到C过程中拉力F做的功。

【解析】对于物体而言绳子的拉力大小虽然不变，但方向不但变化，所以做功公式不能直接用，但我们可以在滑轮右边绳子上取一个点，则对于此点，力Ｆ大小不变方向也不变，则将Ｆ转化为恒力，所以可以直接利用公式去解，这里只是要注意一点，绳子长度是不变的

滑轮与A点间绳长

滑轮与C点间绳长

滑轮右侧绳子增大的长度

拉力做功W=FΔL=25mgd/36。

七、运用功能关系求变力做功

做功是能量转化的量度，我们可以根据能量转化的情况来判断做功的情况，则给求変力做功提供了一条简便的途径。运用功能关系求変力做功

【典例7】、如图示,质量m=1kg 的物体从高处滑下，滑到A 点时速度为２m/s,物体和皮带之间的动摩擦因数为μ =0.2, 传送带AB 之间的距离为L=5m, 传送带一直以v=4m/s 的速度匀速运动,求:

(1) 物体从A 运动到B 的时间是多少？

(2) 物体从A 运动到B 的过程中,摩擦力对物体做了多少功?

(3) 物体从A 运动到B 的过程中,产生多少热量?

(4) 物体从A 运动到B 的过程中,带动传送带转动的电动机多做了多少功

【解析】此题重点关注第４问，电动机做的功直接用做功公式求根本无法求解，但自然界总能量守恒，整个系统增加的能量都是电动机给的，所以电动机做功等于系统能量的增加，即木块动能的增加量和系统产生的热量

解：(1)物体在摩擦力作用下先匀加速运动, 后做匀速运动,

t1= (v-v0) / μ g=1s

S1= (v2-v02 ) / 2 μ g=3m

t2=(L-S1)/v=0.5s

∴ t = t1 t2=1.5s

(2)Wf= μ mg S1= 0.2× 10 × 3J=6 J

或Wf= 1/2 mv2 - 1/2 mv02 = 1/2 × (16-4)J= 6 J

(3)在t1 时间内,皮带做匀速运动S 皮带=v t1 =4m

Q= μ mg Δ S = μ mg(S 皮带- S1)=2J

(4)由能量守恒, W=Q Wf=8J

或W=μ mg S 皮带=8J

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