数学中无穷大是什么(无穷大也能比较)

关于超穷理论的内容,我分成上中下三部分,第一部分讲“数学历史",第二部分将"无穷大基本概念",第三部分讲“超穷理论”,喜欢的读者朋友们,可以根据自己的喜好选择其阅读内容。

上篇我们讲到康托尔在他老师去世后,他的论文发表不再受到阻碍,许多重要概念接踵而至地得到发表,要理解那些概念,我们需要“装备”一些知识才行。

我们先来看看无穷大的“主观”定义:形容没有穷尽,没有止境,无量无限。

数学中无穷大是什么(无穷大也能比较)(1)

无穷大符号

在数学中,我们很容易找到无穷大的例子:整数个数,平方数个数,实数个数……,这里可能会有人要停顿了,按照局部和整体的关系,平方数是整数的一部分,但两个都是无穷大,是否有点说不过去!——是的,在无穷当中,“整体大于局部”的常识不再成立。

欧拉常数γ

这是高等数学中一个非常出名的常数,γ常数频繁出现在高等微积分中,但它的定义特别有趣,是调和级数和对数函数“差的极限”,也就是说调和级数和对数函数的图像最后居然趋近于“平行”,我们知道调和级数的值是可以取到无穷大的,对数函数也是,那我们能认为这里面∞-∞=0.5772……吗?

当然不行,解决这个困境的办法,就是不能把无穷大当做数,来参与“常规”运算,因为这里的无穷只是趋近方式,当然,你用任何一个条件收敛级数,也可以得到同样的结果。

我们这里对无穷的处理方式比较特殊,其实,类似的技巧在数学中广泛地使用,比如射影几何当中,有条非常优美,而且非常强大的原理叫对偶原理:在射影平面上,如果在一个射影定理中把点与直线的观念对调,即把点改成直线,把直线改成点,把点的共线关系改成直线的共点关系,所得的命题仍然成立。

数学中无穷大是什么(无穷大也能比较)(2)

对偶性

比如命题:两条直线必定相交于一点。

对偶命题:过两点只能做一条直线。

然而这条原理有个前提,就是我们必须把平面内的平行线,假设在无限远处相交,否则该原理存在众多特例将会崩溃。平行线在无限远处相交?不就是不相交嘛——没错,描述不同,但是这样修改的意义非常大,一旦我们默认这条描述,这个定理将推广到n维几何当中成立,而且没有例外。如果没有对偶原理,某些证明将会变得异常艰难,而且该原理存在于各个领域,物理学中,逻辑学,离散数学中……

既然如此,为何我们不接受这种平行线相交于无穷远的描述呢,这里的无穷大不是数,也是我们采用了这种处理办法,一旦我们采用这种方式,那么无穷大的众多矛盾就突然消失了。

如果你还把无穷大当做一个数,那说明你的数理水平,还停留在第二次数学危机解决之前。

数学中无穷大是什么(无穷大也能比较)(3)

第二次数学危机

那么,对于整数个数,实数个数这些无穷大,我们真的就无法区分了吗???换句话说:这些无穷大是一样的吗???

康托尔告诉我们——当然不是,不然我们还研究它做什么!

数学中无穷大是什么(无穷大也能比较)(4)

康托尔

首先,我们认为两个事物是一样的,是如何判断的呢?

我们可以找它的相同点,如果都具有一样的性质他们就是一样的;我们还可以找它们的不同点,如果也具有一样的不同点性质,那么也可以判断它们是一样的。

康托尔的研究,也是基于这个思路!

那么我们怎么去找无穷之间的不同呢?首先是生成方式,比如整数个数和平方数个数生成的无穷,生成方式就存在区别,不过这点我们研究了也没有用,因为除此之外我们得不到无穷的任何信息。

但是!!!数学中有个极强的用于比较的工具——射映!概念我无需解释,大家利用高中知识就能明白,因为高中时我们用得可多了!

数学中无穷大是什么(无穷大也能比较)(5)

线段射映

我举几个例子:1→1,2→4,3→9,4→16……,这是正整数一一对应平方数的办法。

利用同样的的方法,我们能举出更多例子,有人会说,这不就是函数嘛,没错,就是函数,但这里的射映,不再限制自变量的个数和性质。

射映是个非常好的概念,因为它将带我们揭示不同无穷大之间的差异,所以对射映的理解,决定了你是否能理解不同无穷大之间的区别。

在下篇中,我们将带你去看看,康托尔的超穷理论将给我们带来哪些惊喜!

好啦!关于无穷大的基本概念,我们就介绍到这里,喜欢我们的读者朋友,可以点击关注我们,也给我们留言。

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