圆锥曲线及其方程目录（选择性必修第一册第三章）

一、利用“坐标法”解决平面几何问题的一般步骤

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中有关的量；

第二步：进行有关代数运算；

第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论。

二、本章需要掌握的内容有：

3个重要概念：椭圆，双曲线，抛物线；

8个标准方程：椭圆的标准方程（2个），双曲线的标准方程（2个），抛物线的标准方程（4个）；

5条重要性质：范围，对称性，顶点，渐近线，离心率；

2个重要方法：坐标法，待定系数法。

三、思想方法归纳

1，数形结合的思想

在解答某些数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，即把已知条件中的数量关系转化到图形中，从而使问题易于解决，这就是数形结合思想。解析几何既体现了“见数联形”，又体现了“以形助数”。数形结合思想是解析几何中重要的思想方法。

2，函数与方程的思想

函数思想就是运用变化的观点分析研究具体问题中的数量关系，在具体问题中把变量之间的关系用函数表示出来，然后用函数的观点研究问题；方程思想就是在解决问题时把所求的量设成未知数，从而列出方程（组），进而求出未知量，使问题得以解决。解析儿何问题中以方程的形式给出直线和圆锥曲线，可以利用条件构建变量之间的关系，得到函数关系式、方程（组），通过运算等代数手段来解决解析几何问题。

3，化归与转化的思想

在解答某些数学问题时，有时会借助数学知识和数学方法，将问题进行转化，使抽象问题具体化、复杂问题简单化、未知问题已知化，进而解决问题，这就是化归与转化的思想。如将解析几何中直线与圆锥曲线的交点个数，转化为联立后方程组的解的组数，转化为消元后一元二次方程实数根的个数，就体现了化归与转化的思想。

4，分类与整合的思想

在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况加以分类并逐类求解，最后综合得出结论，这就是分类与整合的思想。解析几何中许多问题都涉及分类讨论，如轨迹方程问题中轨迹类型的确定、最值问题、参数问题等都可能遇到因为变量范围不同而结果不同的情况，因此要对变量进行分类讨论，才能确定。

四、专题归纳总结

1，圆锥曲线定义的应用

圆锥曲线定义的应用技巧

(1）在求点的轨迹问题时，若所求轨迹符合圆锥曲线定义，则可根据定义直接写出方程；

(2）在椭圆和双曲线问题中，常涉及曲线上的点与两焦点连接而成的焦点三角形，通常结合圆锥曲线的定义及解三角形的知识解决问题；

(3）在抛物线问题中，常利用定义，将“到焦点的距离”和“到准线的距离”相互转化。

2，求圆锥曲线的标准方程

求圆锥曲线标准方程的基本方法是待定系数法。

(1）椭圆、双曲线的标准方程：

求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数。

当焦点位置不确定时，要分情况讨论。也可将方程设为一般形式：椭圆方程为Ax 平方 By平方=1(A>0, B>0,A≠B)，双曲线方程为Ax平方 By平方=1(AB<0)。

在求双曲线的标准方程的过程中，根据不同的已知条件采取相应方法设方程。如：与已知双曲线x平方/a方—y方/b方＝1(a >0，b>0）共渐近线的双曲线方程可设为x方/a方—y方/b方=入(入≠0);已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x方—y方=入（入≠0）等。

(2）抛物线的标准方程：

求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小。

当焦点位置不确定时，要分情况讨论。也可将焦点在x轴或y轴上的抛物线方程设为一般形式y方=2px(p≠0）或x方=2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值。

3，圆锥曲线的几何性质及其应用

圆锥曲的性质的应用主要体现在已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，已知圆锥曲线的性质求其方程。重在考查基础知识、基本思想方法，其中对离心率的考查是重点。

4，直线与圆锥曲线的位置关系

讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立成方程组，消去y得关于x的方程ax方 bx c=0，讨论a及判别式△，由ax方 bx c=0解的情况对应得到直线与圆锥曲线的位置关系。

高中解析几何

方法总结：

a，有关抛物线的焦点弦问题，常用抛物线的定义进行转化求解，在求解过程中应注意利用根与系数的关系进行整体运算。

b，研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般方法是联立直线方程与圆锥曲线方程，消元后利用一元二次方程的根与系数的关系求解。求解时要特别注意以下三点：(1）设直线方程时，需要对直线的斜率是否存在加以讨论；(2）消元后的一元二次方程的二次项系数是否有为0的可能；(3）应用一元二次方程的根与系数的关系时必须先考虑判别式△≥0。

5，圆锥曲线中的最值、范围问题

利用代数法解决最值或范围问题时常用的五个策略：

(1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

(2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；

(3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(4）利用基本不等式求出参数的取值范围；

(5）利用函数值域的求法，确定参数的取值范围。

八个卦限在空间解析几何中默认的位置

6，圆锥曲线中的定点、定值问题

圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点。解答这类难点问题的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒等变换、数式变换等寻找不受参数影响的量。

方法总结：圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

(1）特殊值法解决小题

在定值问题中，参数不影响最后的结果，因此在小题里面可以直接把参数设为特殊的点、线、角，从而直接写出答案。

(2）常规参数法解决大题

类型如下：①和线段的长度有关的定值问题，用弦长公式求出线段长度，最后消参；②和面积有关的定值问题，根据弦长公式、点到直线的距离公式等表示出相关长度，进而表示出图形的面积，消去参数即可；③和斜率有关的定值问题，列等式消去参数即可。

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