2022考研数学三泰勒级数（考研数学数项级数及其收敛）

数项级数其实就是在研究一个问题，无穷多个数相加是否有结果，下面我们就来聊聊关于2022考研数学三泰勒级数?接下来我们就一起去了解一下吧!

2022考研数学三泰勒级数

数项级数其实就是在研究一个问题，无穷多个数相加是否有结果。

是一个数列，我们将中的元素全都都加起来，把称为级数，我们把级数简记为或∑。

如果一个级数=能算出一个结果，我们就说这个级数收敛；如果这个级数不能算出一个结果，我们就说这个级数发散。

我们令=，则

、、…、、…

从而，级数收敛，就相当于数列收敛。

进而，我们让=，此时=

在这里我们把= 叫做级数的第n个部分和，简称部分和。=

我们现在已经通过级数的部分和将级数的收敛与数列的收敛联系在了一起，那么只要能够证明部分和数列收敛就能证明级数收敛。

于是，我们可以根据数列收敛的柯西准则来推导出级数收敛的柯西准则。

数列收敛的柯西准则为：数列 收敛对于任意大于0的数 ε，总是存在一个正整数N，当n,m＞N且m＜n时，我们可以得到这样一个式子＜ε。

由于=,所以

==＜ε

因此，我们可以得到数项级数收敛的柯西准则为

级数 收敛 对于任意大于0的数 ε，总是存在一个正整数N，当n＞N时，

对于任意一个正整数p，这个式子成立， ＜ε。

我们现在可以思考一个问题：我们将级数= 中的加数拆分成数列，如果≠0，那么级数 还有可能收敛吗？

我们假设在级数 中 ≠0，根据数列不收敛的定义我们可以得到，

存在一个大于零的数，对于任意的正整数n，下面这个式子都成立，≥

即， ≥

因此，我们把 ≥ 带到级数收敛的柯西准则中，就会产生这样的结果，

≥=

再根据ε的任意性，我们可以得到 ≥ ≥ε

所以，此时级数 不再满足级数收敛的柯西准则，也就意味着该级数不收敛。

因此，一个级数如果想收敛，那么前提条件必须是=0。

下面我们来看一道题：调和级数 是否收敛？

根据分析我们可以得到调和级数的=

由于==0,所以调和级数有可能收敛。

而当n趋近于无穷大时，对于任意的正整数p，

=

当p=n时，

=

=

≥

==

进而， ≥ 不满足数项级数收敛的柯西准则。

所以，调和级数发散。

下一期我们讲一下判断数项级数收敛的方法。

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