状态元编程（动态问题的静化处理）

事物的发展总是辩证的，运动和变化的元素能给我们解决问题提供方便。但无规则的运动又给解题带来麻烦。运动和静止是对立统一的一个整体，动中有静，因此，解题时要根据条件尽力地使不可捉摸的动态问题变为某个静态问题处理，即化动为静。

例1已知圆C的方程为：

直线 L 的方程为：

求证：不论k为何实数时，直线 L与C必相交。

分析：若依常规解法，须通过圆心到直线的距离与圆半径的大小关系来判定，则比较麻烦，但若挖掘直线中“静”的因素，问题则可很简捷的解答。

证明：∵用直线系方程表示为：

k(x-4) - (y-3)=0

∴L恒过直线L1: x-4=0与 L2: y-3=0的交点M（4，3），而点M（4，3）在圆C内故直线L与圆C必相交。

例2 弦长为L的动弦的两端在抛物线 y=x^2上运动，求动弦中点的轨迹方程。

分析：弦在运动，弦中点也随之运动，中点的位置由弦的两个端点确定，但由于弦的两个端点也是变化的，弦中点轨迹很难确定，而一旦将弦中点“静化”，弦所在直线方程便可以设出来，此时通过直线方程中的几何意义就可以迎刃而解。

解：设弦中点坐标为（x0, y0)，弦所在直线方程为：

将直线方程代入抛物线方程得

∴弦中点对应的参数

用(x,y) 代(x0,y0)即可得所求点的轨迹方程，故弦中点的轨迹方程为：

评注：化动为静，起到了化难为易，化繁为简的效果。

例3如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AB，B1C1上的动点，且

AP=B1Q，M，N分别是AB1，PQ的中点，当P在棱AB上移动时，求点N的轨迹。

分析：一些空间图形中有众多线线平行关系，若动点与定点连线与定直线平行，则动点就被“锁定”在静态的直线上，根据动点移动范围，便能很快求出轨迹。

解：M点是定点，直线MN是动直线，条件中有线段相等，必有比例相等，直觉显示，MN应与某直线平行。连PM，延长之，交A1B1于E，由M是AB1的中点知M是PE的中点，因此，MN∥EQ，易知B1E=AP，由AP=B1Q，得B1E=B1Q，所以EQ∥A1C1，于是MN平行于定直线A1C1，所以随着P点移动到B点，Q点移动到C1点，N点的轨迹应是三角形AB1C的中位线MO（不含点M，O是BC1的中点）。

评注：本例由动点N转化为动直线MN，再由条件知，NM平行于定直线A1C1，因此在运动变化中捕捉到过定点M平行于定直线A1C1的一条静态直线是解答本题的关键。

例4如图，在正四棱锥S-ABCD中，E是BC上异于B、C的一定点，点P在侧面SCD内部及边界上运动，且保持EP⊥AC，指出点P的轨迹，证明你的结论。

分析：动点与动线之间、动线与平面之间常存在着相互制约的内在联系。因此，以线带点，以面制线，寻找静态平面便成为探求空间图形中动点运动轨迹的一大目标。

分析：动点P在侧面SCD上运动，且保持PE⊥AC，那么这些相交于定点E的直线系应位于某个与直线AC垂直的平面内，而由正四棱锥的性质可知，AC垂直于平面SBD，因此动直线PE集中在过E且平行于平面SBD的一个平面内，过E作EF∥SB，GE∥BD，分别交SC于F，交CD于G，则平面EFG∥平面SBD，AC⊥平面EFG，从而点P的轨迹是线段FG。

评注：由已知中的EP⊥AC，转化为线面垂直，再由条件把动直线EP固定在过E且与已知平面SBD平行的一静态平面内，起到了以静制动的效果。

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