长方形正方形周长应用题二步计算（用正方形剪出容积最大的长方体）

应用求函数最值的方法，用正方形剪出容积最大的长方体这道应用题还是有一定的实际意义的一般人第一反应可能会觉得，剪掉越少，围成的长方体容积就会越大实际上真的如此吗？我们先来看看题目，下面我们就来聊聊关于长方形正方形周长应用题二步计算?接下来我们就一起去了解一下吧!

长方形正方形周长应用题二步计算

应用求函数最值的方法，用正方形剪出容积最大的长方体。这道应用题还是有一定的实际意义的。一般人第一反应可能会觉得，剪掉越少，围成的长方体容积就会越大。实际上真的如此吗？我们先来看看题目。

剪去边长为a的正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒子，剪去小方块的边长为何值时，盒子容积最大.

解：设小正方形的边长为x，则0<x<a/2，【最值往往和定义域有关。因为这里x不能为0，也不能为a/2，所以最值不可能出现在定义域的端点处。虽然这样，定义域也是不可忽略的】

记盒子的容积为：f(x)=x(a-2x)^2=4x^3-4ax^2 a^2x, x∈(0,a/2)，【这个盒子的底面是一个正方形，边长是a-2x，高是x。运用容积（体积）公式，列得关于x的函数，这是一个重新设定定义域的三次整式函数】

当f’(x)=12x^2-8ax a^2=0时，x=a/2(舍去)或x=a/6.【求函数的稳定点。原函数本来有两个稳定点，但其中有一个不在这个容积函数的定义域内，所以不需要考虑】

又当0<x<a/6时，f’(x)>0；当a/6<x<a/2时，f’(x)<0；【函数在唯一的稳定点x=a/6左侧递增，右侧递减。勾画出函数的图像，就可以明确知道，稳定点x=a/6是一个极大值点】

且f在(0,a/2)处处可导，【这说明，容积函数在定义域上不存在其它极值点，在这种情况下】

∴x=a/6是f唯一的极大值点及极值点，【而唯一的极值点，如果是极大值点，就是最大值点】

∴剪去小方块的边长为a/6时，盒子容积f(a/6)=(a/6)(a-2a/6)^2=2a^3/27最大.

所以要得到容积最大的长方体盒子，并不是剪掉的材料越少越好，而是剪去的小方块边长为大正方形边长的六分之一时，容积最大。

这道题目相对比较简单，更有利于掌握“应用函数最值，解决实际问题”的知识。