数学的三角形重心（数学三角形的中线）

大家好！我是小刘同学！今天继续对三角形的学习，分享一道中线相关的题目。

请看题：在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求△ABC的各边长。

在以前的分享中，我在《壁虎的偷袭》一文介绍了“数形结合”思想，在《数学：三角形的三边关系（2）》一文又介绍了代数思维与“分类讨论”思想，现在可以综合三者来解决这道题目。

仔细读题，并根据题意作出图形，帮助理解与思考。题中第一条实用的已知条件是“在△ABC中，AB=AC”，等边对等角，我们就知道首先这肯定是一个等腰三角形。

接下来那又该如何理解题中第二条实用的已知条件“AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分”？我们知道，中点是把一条线段分成两条相等线段的点，而连接三角形一个顶点和它的对边中线的线段叫做三角形的中线。结合题意，则AD=CD，且是AB=AC=AD CD，进而得出AB=2AD=2CD。

三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个面积相等的小三角形，依据正是我们所熟知的三角形面积公式：面积=底×高÷2（S=½ah，其中a是三角形的底，h是底所对应的高），且因三边均可为底，所以对该公式的正确理解即为——三边与之对应的高的积的一半是三角形的面积。由此判断所分成的小三角形的底与高也是不会改变的，可见面积相等。

但是，它们的周长不会相等、形状也不会相同。结合题意，因为中线BD将△ABC的周长分成两部分：（BC CD）和(AD AB),无法确定谁为12cm，谁为15cm，就是说这里将会产生两种情况，必须分类讨论。如图所示，即：

情况一，AB AD=12cm且BC CD=15cm；

情况二，AB AD=15cm且BC CD=12cm。

再使用设未知数x的方法，比如我们就可设AD为x，则 AD=CD=x，AB= 2x，从而列出方程：

情况一，因为AB AD=2x x=12cm,得出x=4，所以AB=AC=2x=2×4=8，则AD=CD=4；又因为BC CD=15cm，BC=15-CD=15-4=11,所以最后得出的结果是△ABC各边长分别为AB=AC=8，BC=11。我们要通过三角形的三边关系判定原理（见我分享《数学：三角形的三边关系》一文）来论证该三角形是否存在，即AB AC>BC,且AB-BC<BC,则此时8 8=16>11,且8-8=0<11，三角形存在。

情况二同理，因为AB AD=2x x=15cm,得出x=5，所以AB=AC=2x=2×5=10，则AD=CD=5；又因为BC CD=12cm，BC=15-CD=12-5=7,所以最后得出的结果是△ABC各边长分别为AB=AC=10，BC=7。我们再通过三角形的三边关系判定原理来论证该三角形是否存在，即AB AC>BC,且AB-BC<BC,则此时10 10=20>7,且10-10=0<7，三角形存在。

综上所述，△ABC的三边长分别为8cm，8cm，11cm或10cm，10cm，7cm。

谢谢大家，下回再见！