可能性推演（Pᴺ有前提推演）

在前面讲的是无前提推演，就是在Pᴺ推演中把一个公式作为定理推演出来，它不依赖于任何前提，是从空前提得出的。但是在日常思维中，我们常常是从一些前提出发，推出了某个或某些结论，而我们想知道从这样的前提是否能逻辑地推出个结论，或者说已经进行的某个推理是不是正确而有效的。这就是有前提推演。

我们当然有很多办法做这件事情，例如：先把该推理表示为符号公式，再用前面所讲的判定重言式的方法去判定它是不是重言式（命题逻辑重言式及其判定方法https://m.toutiao.com/is/h2YaXEq）；可以用推理的方法，看一看使用Pᴺ规则，能不能从那些前提推出该结论。

下面将举例说明二种方法如何使用。

用命题逻辑语言给出的推演

用自然语言表述的推理

将自然语言表述的推理符号化，再进行推演。

“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”——《庄子——天下篇》

它表明事物发展的变化是无限的，应用在数学中，一个数可以连续不断的除以2，永远也除不尽。上面例子1中的推理是正确的，但结论不正确，因为推理的前提不正确。

如果我们买保险，那么我们很沮丧。推演如下：

上帝不存在推演：

Pᴺ推演总结

严格的语形（与语义相区别）操作（或者叫句法操作），一切按规则办事。

1，如无相应规则，公式不可随意变形。哪怕是将¬¬A变成A，或是 A∧B变成B∧A，都须另起一行并注明使用了何种规则。

2，注意规则使用的严谨性。例如，从C得（A∨B）∨ C是使用一次初始规则∨ 的结果，但从A得（A∨B）∨C就需要使用两次。再如，等值消去和与等值置换是不同的规则。

3，假设的使用要与→ 、¬ 、¬-的使用严格一一对应。不允许一个假设过后无上述规则中的任何一条对该假设“负责”，也不允许使用上述规则时没有相应的假设。

命题逻辑的可靠性与完全性

可靠性（ Soundness）：（1）所有的Pᴺ定理都是重言式（恒真的）。（2）所有符合Pᴺ规则的推演都有保真性。

完全性（ completeness）：（1）所有重言式都是Pᴺ定理。（2）所有具有保真性的命题逻辑推理都有一个符合Pᴺ规则的形式推演。