阿伏伽德罗常数专题知识点（洛伦兹力冲量的应用）

仅在洛伦兹作用下，

根据单方向动量定理有：

-qvyBΔt=mΔvx(负号表示洛伦兹力与v₀x方向相反)，其中vyΔt=Δy

两边求和有：

-qB∑vyΔt=m∑Δvx

其中∑vyΔt=y，∑Δvx=vx-v₀x

得：qBy=mvx-mv₀x

同理可得：qBx=mvy-mv₀y

洛伦兹力公式为f=qBv,大小与速度成正比，平均洛伦兹力也与平均速度成正比，方向始终与速度垂直。

洛伦兹力的冲量与位移成正比，方向与位移垂直。

qBy=mvx-mv₀x

qBx=mvy-mv₀y

☞洛伦兹力不做功，速度可以应用动能定理求得，因此还要和动能定理结合。

☞在复合场中，电场力往往是单方向，因此用单方向动量定理。

☞要注意除开无磁场区域。

☞磁场换向要取“-”号。

☞技巧：看哪个方向上没有电场力、重力，该方向上动量的变化就是洛伦兹力引起的，在该方向列出动量定理。

【拓展】有类似f=kv这种结构的表达式，一般可以应用动量定理求解。

例题：求入射点和出射点的距离x和粒子离磁场边界最远的距离y.

解析：：求水平位移需要计算竖直方向的动量变化量:

2mvsinθ=qBx

求竖直位移需要计算水平方向的动量变化量:

mv(1 cosθ)=qBy

最高点速度水平向左，这里要注意的是动量的矢量性。

【引申】：物理学研究问题一般从最简单的理想情况入手，由简入繁，逐渐贴近实际。在研究真实的向上抛出的物体运动时，我们可以先从不受阻力入手，再从受恒定阻力研究，最后研究接近真实的、阻力变化的运动情形。现将一个质量为m的小球以速度v₀竖直向上抛出，重力加速度为g。

（1）若忽略空气阻力对小球运动的影响，求物体经过多长时间回到抛出点；

（2）若空气阻力大小与小球速度大小成正比，已知小球经t时间上升到最高点，再经一段时间匀速经过抛出点时，速度大小为v₁，求小球抛出后瞬间的加速度和上升的最大高度。

例题：

mv(sinβ-sinα)＝qBy

mv(cosβ cosα)＝qBL

R＝mv/qB

因此：R(sinβ-sinα)＝y

R(cosβ＋cosα)＝L

例题：如题图所示，

A₁和A₂是两块面积很大、互相平行又相距较近的带电金属板，相距为d，两板间的电势差为U.同时，在这两板间还有方向与均匀电场正交而垂直于纸面向外的均匀磁场.一束电子通过左侧带负电的板A₁上的小孔沿垂直于金属板的方向射入，为使该电子束不碰到右侧带正电的板A₂，问所加磁场的磁感应强度至少要多大？设电子所受到的重力和从小孔进入时的初速度均可不计。

【解析】粒子做旋轮线运动，可用配速法求解，现用洛伦兹力冲量求解。

在竖直方向上，电场力没有冲量，应用单方向动量定理：

eBVx·t=m·△Vy

eBd=mv

mv²/2=eU

解得：

例题 ：在场强为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q的小球在O点静止释放，小球的运动曲线如图所示。

已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g。

求： (1)小球运动到任意位置P(x,y)的速率v。

(2)小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym

(3)当在上述磁场中加一竖直向上场强为E,E>(mg/q)的匀强电场时，小球从O点静止释放后获得的最大速率vm.

【解析】应用动量定理求第(3)问，竖直距离最大，竖直速度为零，重力向下，对水平方向动量无贡献，在水平方向应用动量定理。

qBVy·t=m·△Vx

qBy=mv

洛伦兹力不做功，(qE-mg)y=mv²/2

得：y=mv/qB

(qE-mg)mv/qB=mv²/2

v=2(qE-mg)/qB

例题：如图甲所示，空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.让质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中，不计重力和粒子间的影响。

（1）若粒子以初速度v₁沿y轴正向入射，恰好能经过x轴上的A（a，0）点，求v₁的大小；

（2）已知一粒子的初速度大小为v（v＞v₁），为使该粒子能经过A（a，0）点，其入射角θ（粒子初速度与x轴正向的夹角）有几个？求出对应的sinθ值；

（3）如图乙所示，若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v₀沿y轴正向发射研究表明：粒子在xOy平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的分量vx，与其所在位置的y坐标成正比，比例系数与电场强度大小E无关求该粒子运动过程中的最大速度值vm。

【解析】第(3)问，洛伦兹力不做功，速度最大，电场力不再做功，即速度与电场力垂直。

电场力在竖直方向，在水平方向上不影响动量。

在水平方向上应用动量定理：qBVy·t=mVx=mVm

qBy=mVm

mVm²/2-mv₀²/2=qEy(动能定理)

可求Vm。

例题：现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。真空中存在着如图所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度均为d。电场强度为E，方向水平向右；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。

（1）求粒子在第2层磁场中运动时速度v₂的大小与轨迹半径r₂；

（2）粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θ，试求sinθ；

（3）若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，试问在其他条件不变的情况下，也进入第n层磁场，但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界，请简要推理说明之。

【解析】第(2)问，

洛伦兹力不做功，电场力不影响竖直方向动量，在竖直方向应用动量定理。

qBVx·t=mVy=mvsinθ

Vx·t=nd(只算有磁场区域)

ndqB=mvsinθ

nqEd=mv²/2

例题：如图所示，

在相邻的矩形区域abef和正方形区域bcde中，分别有垂直纸面向里和向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为2B和B，边长ab＝L，bc＝cd＝2L。一带正电粒子从f点以速度v沿边界fe的方向进入磁场，恰好从c点离开磁场，不计粒子重力.下列说法正确的是（BC）

A.粒子过c点时，速度方向与边界cd不垂直

B.粒子过c点时，速度方向与边界cd垂直

C.粒子的比荷为6v/13BL

D.粒子的比荷为2v/5BL

q·2BL (-qB·2L)=m△Vy=0

例题：如图所示，

空间有一个范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B，将一个质量为m、电荷量为＋q的带电小圆环套在一根固定的绝缘竖直细杆上，杆足够长，环与杆之间的动摩擦因数为μ。现使圆环以初速度v₀向上运动，经时间t圆环回到出发位置。不计空气阻力。已知重力加速度为g。求当圆环回到出发位置时速度v的大小。

FN=F洛=qvB

f=μFN=μqvB(f与v成正比)

取向上为正

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