等腰三角形的性质与判定讲解（学会用好等腰三角形性质）

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八年级的同学学习了三角形的知识，由于等腰三角形有丰富的性质，这些性质为我们解几何题提供了新的理论依据，所以寻找发现等腰三角形是解一些几何题的关键，判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是：

从定义人手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等，

实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：

⑴“角平分线 平行线”构造等腰三角形；

⑵“角平分线 垂线”构造等腰三角形；

⑶用“垂直平分线”构适等腰三角形；

⑷用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形。

真题求解

如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD丄AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.

⑴ 求证：CE=CF；

⑵ 将图1中的△ADE沿AB向右平移到△A'D'E'的位置，使点E'落在BC边上，其他条件不变，如图2，求证：A'E'是∠CE'D'的角平分线；

⑶试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论。

[解题思路提示]

⑴ 根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再根据等角的余角相等求出∠CFE=∠AED,然后根据对顶角相等可得∠CEF=∠AED,从而得到∠CEF=∠CFE，再根据等角对等边证明即可；

⑵ 根据平移的性质得∠ME'D'=∠AED,AE'∥AE,再根据两直线平行，同位角相等可得∠CFE=∠AEF，然后求出∠AED'=∠ANEF,根据角平分线的定义证明即可；

⑶ 根据平移的性质可得∠2=∠3，AE=AE'，求出∠1=∠3，再根据等角的余角相等求出∠B=∠4，再利用“角角边”证明△ACE和△A'BE'全等，根据全等三角形对应边相等可得BE'=CE，从而得到BE'=CF。

[解题步骤]

证明：⑴ ∵AF平分∠CAB，

∴∠1=∠2，

∵∠ACB=90°，CD丄AB，

∴∠1 ∠CFE=90°,∠2 ∠AED=90°，

∴∠CFE=∠AED,

∵∠CEF=∠AED(对顶角相等），

∴∠CEF=∠CFE,

∴CE=CF；

⑵∵△ADE沿AB向右平移得到△A'D'E',

∴∠A'E'D'=∠AED，A'E'//AE，

∴∠CFE=∠A'E'F，

∵∠CFE=∠AED，

∴∠A'E'D'=∠A'E'F，

∴A'E'是∠CE'D'的角平分线；

⑶ 由平移的性质得:∠2=∠3，AE=A'E'，

∴∠1=∠3，

∵∠ACB=90°，CD丄AB,

∴∠4 ∠BAC=90°,∠B ∠BAC=90°，

∴∠B=∠4，

在△ACE和△A'BE’中，

∠1=∠3，∠B=∠4，AE=A'E

∴△ACE≌△A'BE'(AAS)，

∴BE'=CE，

∵CE=CF，

∴BE'=CF。

知识点清单：【平移的性质】

①平移前后的两个图形大小、形状完全相同，

只改变图形的位置；

②图形上的每个点都平移了相同的距离，对应

点之间的距离就是平移的距离；各组对应点连成的线段平行(或在同一直线上)且相等。

上述例题根据三角形的角平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，平移的性质，考点颇多，虽然只是考查三角形的内容，但是通过练习，可以提高几何解题思维和综合运用知识的能力。

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