柯西中值定理数学意义（走近现代数学第一人）

柯西(Cauchy, 1789—1857)是法国 数学家 、 物理学家 、 天文学家 。19世纪初期， 微积分 已发展成一个庞大的分支,，内容丰富，应用非常广泛。与此同时，它的薄弱之处也越来越暴露出来，微积分的理论基础并不严格。为解决新问题并澄清微积分概念，数学家们展开了 数学分析 严谨化的工作，在分析基础的奠基工作中，做出卓越贡献的要首推伟大的数学家柯西。

柯西1789年8月21日出生于巴黎。父亲是一位精通古典文学的律师，与当时法国的大数学家拉格朗日与拉普拉斯交往密切。柯西少年时代的数学才华颇受这两位数学家的赞赏，并预言柯西日后必成大器。

事业顺利，爱情如意。这一年，柯西与美丽的女友牵手走进婚姻的殿堂。妻子非常支持柯西的工作。两人相濡以沫，互相恩爱。她非常了解自己这位曾被称为“苦瓜”的丈夫，也理解他对科学的挚爱。

柯西被称为“苦瓜”，那是学生时代的事了。上学时，柯西喜欢静静地呆在一旁边，就像一根苦瓜。虽然不发言，但脑海翻腾起伏。他偶尔说话，也非常简短，亦或前言不搭后语。因此，同学们又给他取了个绰号，就是“脑袋劈里啪啦叫的人”（意思是神经病）。实际上，老师们都知道柯西是个非常聪明的人。柯西平常看的书，都是学者拉格朗的数学论著。这种书，一般学生都不屑一顾，或根本看不懂。他说的话虽然漫无边际，但细听下来，很有寓意或哲理，绝非精神病人能说出来。

1830年，法国七月革命爆发，新政府执政。柯西不愿与新政权效忠，因为他一直认为：学术与政治是两条线。一则避开当局者，二则为生计谋，柯西离开祖国，带着妻子到瑞士、意大利等国教书。他就像春秋时周游列国的孔子一样，柯西受到各地大学的热烈欢迎，他教学非常认真，也受到学生的喜爱。但是，由于体质较差、水土不服等原因，他格外思念自己的祖国。1838年，柯西终于回到巴黎综合工科学校任教。可是，不久因政治效忠问题只得再度离开。这次离开长达十年之久。1857年，柯西回到故乡逝世。

柯西在综合工科学校所授分析课程及有关教材给数学界造成了极大的影响。自从牛顿和莱布尼茨发明微积分(即无穷小分析，简称分析)以来，这门学科的理论基础是模糊的。为了进一步发展，必须建立严格的理论。柯西为此首先成功地建立了极限论。

数列的柯西收敛准则

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数列

收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当m>N，n > N时，且m≠n，有

我们把满足该条件的{xn}称为柯西序列，那么上述定理可表述成：数列{xn}收敛，当且仅当它是一个柯西序列。

该准则的几何意义表示，数列{xn}收敛的充分必要条件是：该数列中的元素随着序数的增加而愈发靠近，即足够靠后的任意两项都无限接近。

证明

必要性

设

，则

，当m,n>N时，有

那么，

充分性

由于数列的柯西收敛准则是实数连续性的体现之一，所以用实数公理——戴德金定理证明{xn}收敛。

首先证明柯西序列是有界的。根据柯西序列的定义，对任意ε>0，存在正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε。

于是取m=N 1，则当n>N时，|xn-xN 1|<ε。

解得xN 1-ε<xn<xN 1 ε，即当n>N时，{xn}既有上界又有下界，所以是有界的。

向上述数列中添加{xn}的前N项得到{xn}本身，则由于前N项都是确定的实数，不会改变{xn}的有界性（即使此时{xn}的上、下界发生变化）。故对任意正整数n，{xn}都是有界的。

其次证明柯西序列收敛。设{xn}⊆[a,b]，有一个实数集A，A中的任一元素c满足：区间(-∞,c)中最多有{xn}中的有限项（注意用词“最多”，意味着可以有0项），而{xn}中的无限项都落在[c, ∞)。并把A在R中的补集设为B，则：

①由取法可知a∈A，并且显然b∈B。即A和B都是非空数集。

②A∪B=R。

③根据集合A、B的定义，A中任意元素都小于B中的任意元素。

由戴德金定理得，存在唯一实数η，使η要么是A中的最大值，要么是B中的最小值。

∵η是A和B的分界点

∴

④由A的定义可知，

。

根据已知条件，当m,n>N时，|xn-xm|<ε

于是xm-ε<xn<xm ε。联立④中的不等式，可得到η-2ε<xn<η 2ε。

也就是当n>N时，不等式|xn-η|<2ε成立

∴

应用

作为柯西收敛准则的应用之一，我们可以用来证明实数的确界原理。

确界原理：非空有上（下）界数集，必有上（下）确界。

证明：先证非空有上界数集必有上确界。

设S是一个非空有上界的数集，且b1是其一个上界。则由S的非空性及实数的有序性可知，必定存在一个实数a1，使得a1小于S中的某个元素，即a1不是S的上界。

把闭区间[a1,b1]二等分，考虑闭区间中点

，如果

是S的上界，则令

；否则令

。

重复此步骤，即如果某个闭区间中点

是S的上界，则令

，否则令

。这样一来得到了一系列闭区间，满足

①an≤an 1<bn 1≤bn

②

并且由闭区间的构造方式可知，对任意自然数n，an都不是S的上界，而bn都是S的上界。

下证{an}、{bn}收敛。

由极限的定义，根据②可知，

，使得当n>N时，|bn-an|<ε。

并且对任意正整数n和p，根据①可知，an≤an p<bn p≤bn。

于是当n>N时，0≤|an p-an|<|bn-an|<ε。

令n p=m，即可得到{an}是一个柯西序列，由柯西收敛准则知{an}收敛。

设

，由②得

。

下证r是S的上确界。

∵bn是S的上界

∴对S中的任一元素x，都有x≤bn

由极限的保序性逆定理可知x≤r，即r是S的上界。

又取任意r’<r，由

及极限保序性可知，存在正整数N，当n>N时，就有an>r'。

∵an不是S的上界

∴r‘不是S的上界

即比r小的数不再是S的上界。根据上确界的定义，r是S的上确界，即非空有上界的数集必有上确界 [1] 。

其次，再来证明非空有下界数集必有下确界。

设B是一个非空有下界的数集，A是B的所有下界组成的数集。

根据下界的定义，

，都有a≤b。换句话说，B中的所有元素都是A的上界，A是一个非空有上界数集。由于已证得非空有上界数集必有上确界，所以A有上确界，记该上确界为r。

下证r也是B的下确界。

显然r∈A，这是因为如果r∉A，那么r一定是B中的最小值（根据上确界的定义），即对任意B中的元素b，都有r≤b。根据下界的定义，r也是B的一个下界，这样一来r∈A，与假设矛盾。

又取任意r''>r，所以r''∉A，即比r大的数不再是B的下界。根据下确界的定义，r是B的下确

界，即非空有下界数集必有下确界。

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其他虽然柯西主要研究分析，但在数学中各领域都有贡献。关于用到数学的其他学科，他在天文和光学方面的成果是次要的，可是他却是数理弹性理论的奠基人之一。

除以上所述外，他在数学中其他贡献如下：

柯西是一位著名的多产数学家，他的全集从1882年开始出版到1974年才出齐最后一卷，总计28卷。他的主要贡献如下;

单复变函数

柯西最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论的。18世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的定积分。但没有给出明确的定义。柯西首先阐明了有关概念，并且用这种积分来研究多种多样的问题，如实定积分的计算，级数与无穷乘积的展开，用含参变量的积分表示微分方程的解等等。

分析方面：在一阶偏微分方程论中行进丁特征线的基本概念;认识到傅立叶变换在解微分方程中的作用等等。

几何方面：开创了积分几何，得到了把平面凸曲线的长用它在平面直线上一些正交投影表示出来的公式。

3.代数方面：首先证明了阶数超过了的矩阵有特征值;与比内同时发现两行列式相乘的公式，首先明确提出置换群概念，并得到群论中的一些非平凡的结果;独立发现了所谓“代数要领”，即格拉斯曼的外代数原理。

身体虚弱的柯西一生奔波，但从没放弃对数学的追求。柯西对数学的最大贡献是在微积分中引进了清晰和严格的表述与证明方法。青年时代在母校写的三部专著：《分析教程》（1821年）、《无穷小计算教程》（1823年）、《微分计算教程》（1826─1828年）。柯西堪称现代数学第一人。他在数学领域的成就，举世瞩目。正如挪威数学家阿贝尔所说， “柯西是当今懂得应该怎样对待数学的人。每一个在数学研究中喜欢严密性的人，都应该读柯西的杰出著作《分析教程》。”借用柯西的一句话：“人总是要死的，但是，他们的功绩永存。”

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