微积分的计算方法与例题(初识微积分和函数)

(A1)Wolframalpha界面及简单操作

微积分的计算方法与例题(初识微积分和函数)(1)

什么是微积分?理解上我们可以拆成微分和积分两部分,微分就是讲一个事物切成无限小的一片片,积分就是将这无限小的一片片合并起来。切成一片片是为了方便研究,合并起来就是为了求得结果。而微积分就是研究这种情况的工具。

因为现实世界千变万化,所以我们需要抓住重点,进行抽象研究,数学就完成了这种抽象。而这种抽象出来的东西其实是事物之间的关系,我们称为函数,函是一个盒子,许许多多数字就装在这个盒子之中,盒子中每一个数都对应着一个结果。

那函数创造出来干什么用呢?对了,微积分研究的对象就是函数,所以本篇对于几个特别的函数类型进行下简介:

  • 有界函数:顾名思义,函数的值不超过某个界限的函数就叫做有界函数。现实中,我们把年龄定为变化量,一个人的身高值为结果量,身高-年龄就是一个有界函数,我们直观理解就知道一个人的身高不可能超过10米,并且不可能低于0米,数学上,我们把一个值的绝对值小于某个常数的函数就叫做有界函数,这里的值可以很大,比如地球到太阳的距离,但只要满足不大于这个值,它还是个有界函数。

微积分的计算方法与例题(初识微积分和函数)(2)

既然有有界函数,那当然有有上界函数和有下界函数。下面就是两个实例:

微积分的计算方法与例题(初识微积分和函数)(3)

y=x^2,有下界y=0

微积分的计算方法与例题(初识微积分和函数)(4)

y=-x^2,有上界y=0

  • 无界函数:就是有界函数的反面,就是上不封顶,下不到底,比如下图:

微积分的计算方法与例题(初识微积分和函数)(5)

y=x^3

Wolframalpha小贴士:在Wolframalpha中画出图像,可以直接输入x^3,或者输入y=x^3;在Wolframalpha中普通的加减乘除可以用“ -*/”表示,对于幂函数,只需要在变量和幂指之间加入一个符号“^”。

当然,世界可不可能这么简单,还有一种函数叫做复合函数。就是一个自变量产生的函数值又作为另一个函数的自变量,有点绕,举个栗子:假设孩子的身高影响因素取决于爸爸、妈妈的身高,而爸爸、妈妈的身高又取决于爷爷奶奶和外公外婆的身高,这样爷爷奶奶身高与爸爸的身高就是一个函数,同理外公外婆身高与妈妈的身高也是另一个函数,这两个函数一复合,就决定了孩子的身高。数学上,我们也举个例子:

微积分的计算方法与例题(初识微积分和函数)(6)

先取正弦,再取余弦

Wolframalpha小贴士:我们可以用小括号进行分隔,比如上面sin用小括号包住了自变量x,cos又用小括号包住了sin(x)

本篇简单介绍了微积分含义、函数意义,以及一些不同类型的函数,下一篇将介绍下另外两种函数:反函数和单调函数。

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(A3)了解反函数和单调函数

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