微积分的计算方法与例题（初识微积分和函数）

（A1）Wolframalpha界面及简单操作

什么是微积分？理解上我们可以拆成微分和积分两部分，微分就是讲一个事物切成无限小的一片片，积分就是将这无限小的一片片合并起来。切成一片片是为了方便研究，合并起来就是为了求得结果。而微积分就是研究这种情况的工具。

因为现实世界千变万化，所以我们需要抓住重点，进行抽象研究，数学就完成了这种抽象。而这种抽象出来的东西其实是事物之间的关系，我们称为函数，函是一个盒子，许许多多数字就装在这个盒子之中，盒子中每一个数都对应着一个结果。

那函数创造出来干什么用呢？对了，微积分研究的对象就是函数，所以本篇对于几个特别的函数类型进行下简介：

• 有界函数：顾名思义，函数的值不超过某个界限的函数就叫做有界函数。现实中，我们把年龄定为变化量，一个人的身高值为结果量，身高-年龄就是一个有界函数，我们直观理解就知道一个人的身高不可能超过10米，并且不可能低于0米，数学上，我们把一个值的绝对值小于某个常数的函数就叫做有界函数，这里的值可以很大，比如地球到太阳的距离，但只要满足不大于这个值，它还是个有界函数。

既然有有界函数，那当然有有上界函数和有下界函数。下面就是两个实例：

y=x^2，有下界y=0

y=-x^2，有上界y=0

• 无界函数：就是有界函数的反面，就是上不封顶，下不到底，比如下图：

y=x^3

Wolframalpha小贴士：在Wolframalpha中画出图像，可以直接输入x^3,或者输入y=x^3；在Wolframalpha中普通的加减乘除可以用“ -*/”表示，对于幂函数，只需要在变量和幂指之间加入一个符号“^”。

当然，世界可不可能这么简单，还有一种函数叫做复合函数。就是一个自变量产生的函数值又作为另一个函数的自变量，有点绕，举个栗子：假设孩子的身高影响因素取决于爸爸、妈妈的身高，而爸爸、妈妈的身高又取决于爷爷奶奶和外公外婆的身高，这样爷爷奶奶身高与爸爸的身高就是一个函数，同理外公外婆身高与妈妈的身高也是另一个函数，这两个函数一复合，就决定了孩子的身高。数学上，我们也举个例子：

先取正弦，再取余弦

Wolframalpha小贴士：我们可以用小括号进行分隔，比如上面sin用小括号包住了自变量x，cos又用小括号包住了sin(x)

本篇简单介绍了微积分含义、函数意义，以及一些不同类型的函数，下一篇将介绍下另外两种函数：反函数和单调函数。

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（A3）了解反函数和单调函数