高斯巧解数学题的故事 高斯破解数学难题的故事

【题记】给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。 ——C·F·高斯

正十七边形尺规作图问题

此时此刻，讲一个高斯在大学二年级期间破解数学难题的故事。接下来谈谈题目的解法。最后是故事给我们的启迪。

第一章

1796年的一天，在德国哥廷根大学，一个19岁的青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的两道数学题。像往常一样，前2道题目在2个小时内顺利地完成了。但青年发现今天导师给他多布置了一道题。第三道题写在一张小纸条上，是要求只用圆规和一把没有刻度的直尺做出正17边形。他也没有多想，就做了起来。然而，青年感到非常吃力。

开始，他还想，也许导师特意给我增加难度吧。但是，随着时间一分一秒地过去了，第三道题竟毫无进展。青年绞尽脑汁，感到自己学到的数学知识对解开这道题没有什么帮助。

困难激起了青年的斗志：我一定要把它做出来!他拿起圆规和直尺，在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去解这道题...当窗口露出一丝曙光时，青年长舒了一口气，他终于做出了这道难题!见到导师时，青年感到有些内疚和自责。他对导师说：“您给我布置的第三道题我做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培……”

导师接过作业一看，当即惊呆了。他的声音都颤抖了说：“这……真是你自己……做出来的?” 青年有些疑惑地看着激动不已的导师，回答道：“是的，但我很笨，竟然花了整整一个晚上才做出来。”

导师让他坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，叫青年当着他的面做这道题。青年很快就解开了这道题。

导师激动地对青年说：“你知不知道，你解开了一道有两千多年历史的数学难题?牛顿也没有解出来，阿基米德没有解出来，你竟然一个晚上就解出来了!你真是天才啊!我最近正在研究这道难题，昨天给你布置题目时，不小心把写有这个题目的小纸条夹在了给你的题目里。”

后来，每当这个青年回忆这件事时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我可能就无法解开它。这个青年就是数学王子高斯。

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花絮：曾经的世界数学中心——哥廷根

高斯和韦伯

“一切古老的大学均有美妙的相似之处。 哥廷根正如英国的剑桥或美国的耶鲁那般 － 偏远而罕为人至。 但除了那些学究们。 教授们深信这里是世界的中心。 哥廷根老市政厅墙上刻的那句古语 ——哥廷根之外没有生活。 哦，这句话，哥廷根的教授比学生更把它当成一回事呢。”

——布洛诺斯基(Jacob Bronowski)

哥廷根是世界闻名的学术之都。 以克莱因，希尔伯特，闵可夫斯基为首的数学家形成“哥廷根学派”影响了20世纪初的科学，并产生重大影响。1734年创办的哥廷根大学，截止至2017年，诺贝尔奖获奖人数为45人，数量为德国第2位、世界第15位。

数学家高斯、黎曼、希尔伯特、狄里克雷、戴德金、克莱因、闵可夫斯基、诺特、外尔……

物理学家韦伯、玻恩、普朗克、赫兹、海森堡、奥本海默……

还有许多政客和人文大家如洪堡、梅特涅、格林兄弟、叔本华、海涅、俾斯麦、胡塞尔……

不论身在何处，这些名垂青史的名字，永远都与学术圣地哥廷根相关！

在霍金演讲录里有一则未经证实的故事。

说二战时，英国和德国有一个战时协定：盟军以不轰炸海德堡和哥廷根为条件，换取纳粹不轰炸牛津和剑桥。足见二战时期哥廷根所处的学术地位之高！

高斯（1777-1855）

Extra Gottingam non est vita，si est vita ，non est ita.

哥廷根外无生活，即使有，亦非如斯。

——哥廷根老市政厅拉丁铭文

从1795年求学到1855年，高斯在哥廷根大学工作了60年，他的研究涵盖了代数、大地测量、磁学以及天文学。1807年担任哥廷根大学数学、天文学教授和天文台台长。

高斯在哥廷根大学就读时期曾求得过一个很著名的结果

但是绝大部分人不知道这个结果，更不知道求解过程，只是听说过高斯证明了正十七边形可以用尺规作图作出来，解决了这个连阿基米德和牛顿都没做出来的，已经存在有两千多年的数学难题的故事。

高斯的思路其实很简单，画正十七边形只需求出cos(2π/17）的值，如果能求出来，再验证其是否满足尺规作图能做出来的条件，也就证明了这个问题。而这个问题，最大难点就在于如何求出cos(2π/17）的值。

第二章

尺规作图 (Compass and straightedge constructions) 是起源于古希腊的数学课题。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。这里，“直尺”和“圆规”有以下的限制：直尺必须没有 刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度。圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成你 之前构造过的长度或一个任意的长度。

尺规作图的研究，促成数学上多个领域的发展。好些数学结果就是为解决古希腊三大名题得出的副 产品，对尺规作图的探索推动了对圆锥曲线的研究，发现了一批著名的曲线，等等。若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能的例子是利用了19世 纪出现的伽罗瓦理论以证明。

正十七边形的尺规作图（Regular 17- gon construction）问题自欧几里得以来悬而未决2000多年，直到1796年，当时19岁的高斯首先发现了这个问题的解法。这个发现使高斯坚定了献身数学研究的信念。高斯临终时还留下遗言：请把正十七边形刻在他的墓碑上。

在解决了正十七边形的尺规作图问题后，高斯进一步研究尺规作图问题，5年后，他彻底解决了正多边形的尺规作图问题，并证明了下述定理：

一个正多边形，当且仅当其边数具有形式：

时，才能用圆规和直尺作出其图形。

高斯解法1

高斯解法2

高斯解法3

等分圆周问题：正65537边形的作图经Hermes费了10年功夫才完成，据说，他的手稿可以装满一个手提箱。

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第三章此时此刻，有几句话对广大莘莘学子说。

人生的乐趣有两种，一种是简单的快乐，很肤浅，容易得到。例如宅在家里追剧、刷手机等等。还有一种是艰难的乐趣。需要付出努力，克服困难，有一个艰苦的过程才能得到。例如学习、科研等等。艰难的乐趣不容易得到，但获得后有更大的满足和自豪。困难是一种挑战，挑战的难度越大，得到的满足感越强。

3:19 In the sweat of thy face shalt thou eat bread,till thou return unto the ground;for out of it wast thou taken: for dust you are and to dust you will return.

你必汗流满面才能糊口，直到你归于尘土；因为你来自尘土:你本是尘土，终将归于尘土。

——《旧约·创世纪》

人生是奋斗的过程，生命的意义在于奋斗。同学们要在学习中克服困难，克服自身的惰性和各种阻力，去享受这种艰难的乐趣。困难像弹簧，看你强不强。你强它就弱，你弱它就强。

追寻梦想，永不止步的高斯曾经说过：“给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。”

希望同学们在学校刻苦学习，每天进步一点点，学习到发光！

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。

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