古代算术方法大全（古人的算数盈不足术）

　　什么是盈不足术，它是怎么解决问题的呢？

　　盈不足术中 “盈”就是“多”的意思，“不足”就是“少”的意思，因此盈不足术是在解决“盈亏类”问题。比如，在《九章算术》中就有一道非常著名的题目，今天我们就拿它来给大家详细介绍下盈不足术是怎么解决问题的。

　　题目是这样的：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”用我们现在的话就是说：“有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元，每日人出7元，则还差4元。请问共有多少人？这个物品的价格是多少？”

　　这个题如果放到现在来说，我们可以应用方程组求解，假设共有x个人，物品的价格为y元，则8x-y=3、y-7x=4，因此我们非常容易就能得到答案:x=7， y=53。

　　但对于不会方程组的古人来说，他们是怎么靠盈不足术解决的呢？

　　第一，我们需要先将上题的表述抽象化为：有一些人共同买一个物品，每人出x1元，还盈余y1元；每人出x2元，则还差y2元。请问共有多少人？这个物品的价格是多少？

　　第二将，x1、 y1、 x2、 y2排成如下矩阵：

　　这个矩阵的表述就是，如果只买一件的话，每人出x1元，还盈余y1元；每人出x2元，则还差y2元。

　　第三，我们要找到当买1件物品时一种“不盈不亏”的出钱方法。因此我们可以将上面矩阵的第一列都乘以y2，第二列都乘以y1 。

　　根据上面的矩阵我们可以知道，第一次交易盈余y1y2元；第二次交易还差y1y2元。如果将两次交易相加，买y1 y2个物品，则盈余、不足抵消，即“不盈不亏”。也就是，买1件物品时，每人应出钱：（x1y1 x2y2）/（y1 y2）元。

　　第四，我们开始计算人数，方法就是用两次交易总金额的差，除以每人出钱的差，即（y1 y2）/ （x1-x2）。于是，我们的物价也可以得出了，就是用人数乘以每人应出钱数，化简后就是（x1y1 x2y2）/（ x1-x2）。

　　综上所述，我们可以知道盈不足术的三个公式，以后只要遇到盈亏问题，人们只要套用公式即可，就不需要一步步推算啦。假设x0表示每人实际应出钱数， A表示人数， B表示物价，则公式如下。

　　最后，回到问题的最开始，你知道怎么利用盈余不足术的公式来计算了吗？

　　本文由山东省莱州市文峰中学二级教师李奕樊进行科学性把关。