数学家用什么工具（笔尖尺子桌面和房间有什么区别）

　　我们坐在3维的屋子里，在2维的桌面上学习、办公，沿着1维的尺子丈量物体，用0维的笔尖书写——“维度”看起来如此寻常易懂。然而，数学家们却并不这么认为。一代代的数学家在问题与矛盾中不断地思索、辩证，希望能够给出确切的答案：维度到底是什么？点、线、面、体之间，有什么样的联系和本质的区别？

　　撰文 | 戴维·S。里奇森（David S。 Richeson）

　　翻译 | 李诗源

　　审校 | 王昱

　　乍一看，“维度”（dimension）的概念似乎很直观。古人便已知道我们生活在3维空间中。亚里士多德曾在著作里表示：“可以在1个方向上表征大小的（形状）是一条线，2个方向的是一个平面，而3个方向的则是一个体。除此之外，没有别的可以表征大小的情形存在，因为只存在上述的这些维度。”

　　但是，随后我们就会意识到，给“维度”这个概念下一个详尽的定义并推广到一般情形，是极为困难的。数百年来，人们进行了大量的思想实验，通过想象来进行类比，才让我们如今能对这一概念有较为严格的解释。

　　不过，数学家等群体一直很享受构想更多维度，做一些脑力锻炼。如果第4个维度以某种方式与我们的3维空间垂直，那会是什么样的？

　　脑力游戏

　　一种很常用的方法是，假设我们的可知宇宙是3维空间中的一个2维平面。在这个平面上方，飘浮着一个我们看不见的实心球体。但如果这个球体掉落并接触到平面，就会产生一个点。随着球体继续穿过平面，交界处会产生一个圆盘，并且逐渐增大，直到达到最大大小。随后，圆盘逐渐缩小，最终彻底消失。我们正是通过这些截面，看到了3维的图形。

　　以此类推，如果一个4维球体穿过我们所熟悉的3维宇宙，那么首先会出现一个点，然后这个点变成一个先增大后缩小的球体，直至消失。这让我们对4维的图形有了一点概念，但还有其他方法可以想象这些图形。

　　比方说，让我们试着在4维空间中构建一个立方体的等价物体，即超立方体（tesseract）。如果一开始有一个点，我们可以把这个点沿着一个方向进行“扫描”，这样就得到了一条线段；将这条线段沿着与之垂直的方向“扫描”，可以得到一个正方形；以此类推，我们可以得到一个3维的立方体和一个4维的超立方体。

　　移动低维图形（蓝色）进行“扫描”，可以构建出高维图形（紫色），包括超立方体。

　　综合以上的内容，我们可以直观地认为，如果一个抽象空间内有n个自由度，或者是空间中一个点的位置需要n个坐标来描述，那么这个空间就是n维的。不过，数学家们发现维度的概念比这些简化的描述更为复杂。

　　看似简单，实则复杂

　　对高维空间的正式研究始于19世纪。在几十年内，这一领域就变得极为复杂。1911年的一部著作，著录了1832篇与n维空间的几何学有关的参考文献。在19世纪末至20世纪初，公众变得对“第4维”极为痴狂。1884年，埃德温·阿博特（Edwin Abbott）撰写了讽刺小说《平面国》（Flatland），日后大受欢迎。书中描绘了2维生命遇见来自第3维度的生命的场景，用这一类比来帮助读者们理解第4个维度。1909年，《科学美国人》（Scientific American）杂志举办了“什么是第4维？”主题征文比赛，奖金为500美元，共收到245份参赛作品。而巴勃罗·毕加索（Pablo Picasso）、马塞尔·杜尚（Marcel Duchamp）等许多艺术家，都曾在作品中融入“第4维”的概念。

　　但是在这一时期，数学家们意识到，缺少对维度的正式定义确实是一个问题。

　　格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）最著名的发现是不同无限集合的大小是不一样的，或者说有不一样的势（cardinality）。起初，康托尔认为一条线段、一个正方形和一个立方体中的点集必然有不同的势，就像包含10个点的线段、10×10的网格点阵和10×10×10的立方体点阵包含的点数量不同一样。然而，1877年，他发现线段和正方形中的点存在一一对应关系（对所有维度的立方体也可以依此类推），表明它们有相同的势。于是他证明了一个直观的结论：尽管线、正方形和立方体的维度不同，但它们由同样数量的极小的点构成。

　　康托尔意识到，这一发现对“n维空间需要n个坐标来描述”这一直观的想法产生了冲击。这是因为n维立方体中的每一个点都可以唯一地被一个区间内的一个数所标识，因而在某种意义上，这些高维的立方体与1维的线段是等价的。然而里夏德·狄德金（Richard Dedekind）指出，康托尔所构造的函数是高度不连续的，它实际上是把一条线段拆分为无穷多个部分，然后重新拼装成一个立方体。但是，坐标系的构建不应当包含这种行为；这种方式过于混乱，就像给纽约曼哈顿的所有建筑一个唯一的地址，但这些地址和每一栋建筑之间的匹配却是随机的。

　　1890年，朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）发现，1维曲线可以被紧凑且连续地“折叠”起来，并填满2维正方形内的每一个点。不过，他构造的曲线会与自身相交无穷多次。如果再用曼哈顿作类比的话，这就像有一部分建筑有多个地址。

　　戴维·希尔伯特（David Hilbert）构想的空间填充曲线。构建它需要循环进行5个步骤，在每一步中曲线的面积都是0，但在极限情况下，曲线便能填满正方形。

　　这些例子表明，数学家们需要证明“维度”是一种真实存在的概念；例如，当n≠m时，n维和m维欧氏空间之间存在着某些根本的差异。这一目标后来演变成对“维度不变性”（invariance of dimension）问题的研究。

　　从高维空间到海岸线

　　在康托尔的发现之后将近半个世纪内，许多数学家都尝试证明维度不变性，但都铩羽而归。最终，在1912年时，卢伊兹·布劳威尔（L.E.J。 Brouwer）应用自己发明的新方法，终于获得了成功。本质上说，他证明了不可能在既不将物体分割成许多部分（如康托尔的方法），又不让物体与自身相交（如皮亚诺的方法）的情况下，将一个高维物体放到一个维度较低的物体内，或是用一个低维物体完全填充一个维度较高的物体。同一时期，布劳威尔和其他数学家还给出了多项严格的数学定义。例如，其中一项定义以“n维空间中的球体的边界是n-1维的”为基础，用归纳法规定了不同的几何图形的“维度”。

　　尽管布劳威尔的工作给“维度”的概念奠定了坚实的数学基础，但它们并不能帮助人们直观地理解高维空间，因为我们对3维空间过于熟悉，往往会被误导。

　　例如，假设我们要把2^n个半径为1的球体放到一个边长为4的n维立方体里，然后在中心再放一个球，使之与其他球体全都相切。中心球体的半径为n1/2-1，随着n的增大而增大。于是，这会导致一个非常令人震惊的结果：当n≥10时，这个球体就会超出立方体的边。

　　一个正方形内放入了5个圆（左）和立方体内放入9个球体（右）的情形。随着维度增加，中心的球体会逐渐增大，最终立方体将无法容纳它。

　　对维度的探索并未止于布劳威尔的发现。短短几年后，费利克斯·豪斯多夫（Felix Hausdorff）提出了维度的一种定义。几十年后，人们意识到这一定义对于现代数学是必需的。有一种方法可以帮助我们直观地理解其定义：如果把一个d维的物体均匀地放大为原来的k倍，那么这个物体的大小就会变为原来的kd倍。例如，如果我们把一条线段、一个正方形和一个立方体放大为原来的3倍，那么点的大小不会改变（30=1），而线段长度、正方形的大小和立方体的大小分别变为原来的3、9和27倍。

　　将不同维度的物体进行缩放。

　　根据豪斯多夫的定义，我们会得到一个意外的结果：物体的维度可以不是整数。几十年后，这恰恰为贝努瓦·B。曼德尔布罗（Benoit B。 Mandelbrot）的问题给出了答案。当时，曼德尔布罗正思考大不列颠岛的海岸线有多长。海岸线可能会相当参差不齐，无法用尺子精确地测量其长度——尺子越短，测量越精确，但同时测量的工程也会越浩大。曼德尔布罗认为，豪斯多夫的维度定义提供了一种量化海岸线“粗糙度”（jaggedness）的方法。1975年，他造出了“分形”（fractal）这个术语来描述这类复杂的无穷图形。

　　测量出的大不列颠岛海岸线长度取决于尺子的长短。

　　我们可以以科赫曲线（Koch curve）为例，来理解非整数维度可能是什么样的。科赫曲线是用迭代的方法生成的。起初我们有一条线段；每一步，我们要把每条线段的中间1/3去掉，用2条和去掉的线段长度相同的线段来代替。重复这一过程无穷多次，就得到了科赫曲线。如果将曲线放大，你会发现它包含4个部分，每个部分都和整条曲线（形状）相同，但大小只有后者的1/3。所以，如果把曲线放大为原来的3倍，我们就得到了4条和原曲线相同的曲线。因而这条曲线的豪斯多夫维度d满足3d=4，所以d=log34≈1.26。这条曲线不能像皮亚诺的曲线那样填满整个空间，所以它不算是2维的，但又比一条单纯的1维的线要复杂。

　　科赫曲线的生成过程。

　　3维之外

　　可能有的读者会疑惑：“难道第4维不是时间吗？”1895年，赫伯特·韦尔斯（H.G。 Wells）发表了小说《时间机器》（The Time Machine）。正如小说中的发明家所说，“除了我们的意识沿着时间流动以外，时间和3维空间的任一个维度并无区别。”1919年发生的一场日食，使科学家们得以确认爱因斯坦的广义相对论，也印证了赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski）的预测：“从此以后，独立的空间和独立的时间注定将不复存在，只有某种将二者结合的形式可以将独立的现实保存下来。”

　　如今，数学家和其他领域的研究者，常常进行我们熟悉的3维空间以外的研究。有时这些研究会涉及额外的物理维度（如弦论就需要这些维度），但更多的时候，我们会进行抽象的工作，不会构想真实的空间。几何学的研究可能涉及高维空间，而物理、生物、工程、金融和图像处理等领域有时会研究分形，需要用到非整数维度。

　　幸运的是，要想享受维度的乐趣，并不需要对它有充分的理解——这一点，鸟儿和数学家们都一样。

　　原文链接：

　　https：//www.quantamagazine.org/a-mathematicians-guided-tour-through-high-dimensions-20210913/