初一下学期尺规作图练习题（对一道尺规作图题作法的思维价值的深入探究）

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题目

如图1，给定正方形ABCD及正方形AB边上一点E，求作：△EBF，使其周长等于正方形ABCD的边长a，且点F在BC边上.

图1

作法I(如图2)

步骤1 在CB边上截取CM=EB，

步骤2 连接EM，

步骤3 作EM中垂线交BC于点F，

步骤4 连接EF，得△EFB即为所作.

图2

证明(如图2)

∵FH是EM的中垂线，

∴EF=MF，

∵EB = MC，

∴BE＋EF= CM＋MF=FC，

∴△EFB的周长= BE＋EF＋BF

= BF＋FC=BC=a.

反思1.这种作法是如何想到的？

本题作为尺规作图问题，作法本身并不困难，困惑在于这种作法是怎样发现的，或者说怎样想到的，背后的思维机制和理论基础是值得探讨的.

先看发现作法I的分析

由题知，求作△EFB的关键是确定唯一未知顶点F在BC边上的位置，而该三角形的边EB是确定的，要使△EFB的周长等于边长a，显然另两边的和必然等于a－EB，

即BF＋FE=a－EB，因而想到在CB上先截出EB的长，再将剩下线段采用适当的方法分成两段即可，这个适当的方法很容易想到是用中垂线来分.

2.本题作法是否唯一？

在探求这个疑问的过程中，另外一些疑问浮现出来：

疑问1 点F的存在性，点F在BC边上是否一定存在？

疑问2 是否只能在BC边上截取EB的长度？

疑问3 正方形作为一个完美的对称图形，其中心O是否一定在中垂线FH上？

如果能解决这些疑问，显然就可以发现其他的作法，因而有必要继续探究一番！

疑问1 点F的存在性探究

正方形边长为a，设BE=k1a，BF= k2a，

依题意得EF=[1－（k1＋k2）]a，

由勾股定理易得

2（k1＋k2）=1＋2 k1 k2，。。。（1）式

结论 本题中，只要点E在AB边中点的下方，点F就一定存在，并且在BC边中点的左侧（如图3）.

图3

疑问2、疑问3的探究

采用分析法（执果索因）

假设点F已作出，以点F为圆心，FC的长为半径画弧交FE的延长线于点G，则显然有FG=FC=（1－k2）a，其中EF=[1－（k1＋k2）]a，EG=EB=k1a，连CG，作CG的中垂线FH，交AD边于H.

若中垂线FH过正方形的中心O，问题就容易一些了.为验证这个猜想，先尝试了纯几何办法，没有成功，为此干脆改弦更张利用解析几何的知识作尝试.

如图4，以B为坐标原点（0，0）建立直角坐标系.

图4

则以下各点的坐标为：E（0，k1a），F（k2a，0），作GI⊥x轴，垂足为I，

（温馨提示：两点所确定的直线的斜率=这两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值）

所以正方形中心O在中垂线FH上，前面猜想正确！

下面探究∠EOF的特征.把FH想象成角平分线（怎么会有此想法？），为此在CB边上截取FM=FE，则显然有△OEF≌△OMF，从而FO平分∠FOM，∠FOM=2∠EOF.

好的，继续干！

求得OE的斜率kOE=1－2k1，

求得OM的斜率kOM=-1/(1-2k1)，

计算得kOE× kOM=－1，

所以OE⊥OM，

即∠FOM=2∠EOF=90°，∠EOF=45°.

至此，探究出另外的作法（如图5）.

图5

以上过程可逆，所以△EBF的周长=BF EF EB= BF FC=BC=a.

一些细节的替代方案(如图6)：

实际上△OEB≌△OMC，鉴于尺规作直角、作角平分线都较麻烦，

修改步骤3，步骤4为

步骤3.在边CB上截取CM=BE （此时OM⊥OE，为什么？请思考。）

步骤4.连接EM，作EM的中垂线交BC边于F，则△EBF即为所作.

图6

再反思一下

作法II与作法I思路略有不同，作法II是通过作直角的平分线确定点F，作法I是中垂线确定点F，其实这两条线（角平分线、中垂线）是同一条线！但先作直角再作平分线略显繁琐，但从作法繁简论，作法I更优.

但也丝毫不能贬低作法II的思维价值.从作法II探究过程发现的两个结论

其一，正方形的中心O必为中垂线段FH的中点；其二，∠FOM=90°，奠定了作法II的理论基础，因而至关重要.而这两个结论的证明，都可以单独作为一道证明题，笔者在本文中提供的证明方案是解析法，肯定还可以用纯几何法来证明，欢迎留言（或私信）交流.

实际上还可以由此发现一些结论，比如O，E，B，M四点共圆，有兴趣的读者可以进一步研究并证明，并由此可以进一步优化作法.

附笔者发现的另一些作法

作法III（如图7）

（1）连接OE，以OE为对称轴，作出B的对应点B’，连B’E，交BC于点F.

（2）△EBF即为求作.

图7

作法IV（如图8）

（1）连接OE，作△BEO外接圆交BC边于M，再作直角∠EOM的平分线交BC于点F

（2）△EBF即为求作.

图8

作法V（如图9）

（1）连接OE，作ST⊥OE，O为垂足，再作直角∠EOS的平分线交AB于点Q，然后以E为圆心EQ为半径画弧交BC边于点F.

（2）△EBF即为求作.

图9

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