数学分数的题型（初等数学21-分数）

• 化简
• 乘法
• 倒数
• 除法
• 带分数、繁分数的乘除

分数的乘除

化简

前一节介绍了等值分数，即多个分数表示同样大小的值。而我们常用到的是它们的最简形式的分数。如：1/2, 2/4, 3/6, 4/8, 5/10, 6/12, 7/14, ...... 这些分数中一般情况下我们都会用 1/2 表达。

分数的化简：分子、分母除了 1 外没有其它的公因子，就是最简形式。如果分子、分母有其它公因子，需要将它们约分去掉公因子。

例如：

• 2/3 是最简分数。因 2 和 3 没有公因子(除 1 以外)
• 10/15 不是最简分数。因 10 和 15 有公因子 5

找等值分数的逆处理可以用来化简分数

分数化简步骤

1. 将分子、分母都做质因子分解，并用乘积的方式表示
2. 应用上述约去公因子的方法化简
3. 将分子、分母剩余因子各自的积分别作为新的分子、分母

对于负分数处理方式是一样的，只是前面多了一个负号。化简后的分数为假分数时，一般没有必要转为带分数（除对假分数做分析的情况）。

带变量的分数，当分子、分母存在同样的变量时，可以作为公因子约掉。

乘法

对于 1/2 * 3/4 可以将它理解为 3/4 的一半是多少。借助模型帮我们理解它们的乘积，构建一个四分之三的分块，然后找到这个分块的二分之一

6/8 与 3/4 是相等的，就是说 3/4 的一半也是 6/8 的一半，即模型中三个 1/8 为 3/8。

所以，分数的乘法：如果a、b、c（b ≠ 0 且 d ≠ 0），那么

注意分数分子、分母分别相乘时，正负号的规则与之前章节一样：同号正，不同号负。所有的整数都可以写成分数的形式，即

倒数

看看 2/3 和 3/2、-10/7 和 -7/10，它们都有什么关系？不难发现它们的乘积都是 1

称这样的数对互为倒数。

a ≠ 0 且 b ≠ 0

找一个数的倒数，保持符号不变交换数的分子与分母的位置，注意 0 没有倒数（因为不存在数 a ▪ 0 = 1）。

到目前为止，我们在对数的处理过程中引出了三种概念上的数：相反数、绝对值、倒数

除法

为什么 12 ÷ 3 = 4 ？用计数器建模的方式解释：12个计数器以每组3个计数器的方式分组可以分几组？

12个计数器可分4组，每组3个

那么，分数的除法呢？如：

相当于 1/2 中有多少 1/6

分块建模

1/2 可分成3个 1/6

再如，买一个本子2元钱，而手中有很多5毛钱，请问需要支付多少张5毛？5毛是1/2元，那么1元钱是2张5毛，而2元是2个1元。所以 2 ÷ 1/2 = 2 • 2 = 4

对于分数的除法：数a，b，c，d中当b ≠ 0，c ≠ 0，d ≠ 0，那么

除法中除以一个数相当于乘以它的倒数

带分数、繁分数的乘除

前面都是讲真分数、假分数的乘除。对于带分数，我们可以将它转换为假分数再做乘除处理。另外，还有一种繁分数：分子或分母含有分数的分数

分别可以写成：(6/7 ÷ 3), (3/4 ÷ 5/8), (x/2 ÷ 5/8)，再根据除以一个数等于乘以一个数的倒数，最后做乘法运算，化简成最简分数即可。

再上述的分数乘除中，当分子、分母有正负号情况下，分数的符号如何确定

提示：分数的运算先后顺序 -- 1（小括号），2【中括号】，3{大括号}，4|绝对值|，5口/口

,