非零自然数的数列是单调递增吗（证明单调递增有界的无穷项正数之和不是一个确定数）

证明单调递增有界的无穷项正数之和不是一个确定数，下面我们就来聊聊关于非零自然数的数列是单调递增吗?接下来我们就一起去了解一下吧!

非零自然数的数列是单调递增吗

证明单调递增有界的无穷项正数之和不是一个确定数

设数列an的前n项之和为Sn，Sn是单调递增有界收敛数列，设其极限值为a，an是正数递减的具体数列，Sn=a1 a2 ••• an，用数学归纳法证明，任意n项之和Sn与以前各项之和都不相同，累加永无止尽，其值永恒严格递增、改变，这就能证明单调递增有界的无穷项正数之和不是一个确定的数。

根据正数项越多，累加值越大的原理，我们每次取数列的一项进行累加，每次累加之和都大于以前的累加值，与以前的累加值都不同。（一）当项数取n=2时，很容易证明无穷项正数之和S2与以前累加值都不同；（二）当项数取n=3时，也容易证明无穷项正数之和S3与以前累加值都不同；（三）假设项数任意取n=k时，无穷项正数之和Sk与以前累加值都不同，再取一项正数ak 1进行累加，其项数之和Sk 1都大于以前累加值S2；S3；•••；Sk，当然Sk 1也与以前的累加值都不同，这就证明了当项数为n=k 1时，命题成立。综合（一）、（二）、（三）可知，命题得证。任意多项正数之和与以前累加值都不相同，累加值严格递增，任何有穷项数的累加值都是确定的数值，无穷项的项数不确定，当然其累加值就不确定，即无穷项正数之和不具有唯一确定值，累加永无止尽，累加值永恒变化，万世不竭。

特别指出：数列各项都是按自然数顺序排列，无穷都是以有穷、具体、确定为基本条件，具有具体的通项公式，Sn通项公式递增有界，增量逐项递减，an递减数列，增量永恒大于零，无穷项正数之和是单调递增有界的。

单调递增有界的无穷项正数之和不是一个确定的数，它是一个数列，该数列为：S1（a1）；S2；S3；•••；Sn；•••，其中Sn=a1 a2 ••• an，0<a1>a2>•••>an>•••，

数列an项取之不尽、用之不竭，Sn以分散点的方式，无限逼近其极限值，因此任意项Sn不可能等于极限值，只能小于极限值，

S1<S2<S3•••<Sn<•••<a，它验证了单调递增有界的无穷项正数之和不是一个确定数，任意项、所有项Sn<a，它的每一项都小于极限值，它永恒小于其极限值，它不等于其极限值。如果规定“单调递增有界的无穷项正数之和等于一个确定数”，那是自相矛盾的规定，是胡作非为，是谬论。也充分验证了中国古人的话是正确逻辑、科学道理：对1米的木棒，日取其半，万世不竭。即取出的木棒之和：1/2 1/4 ••• 2^(-n) •••<1，它不等于1，它的极限值是1.同样的例子还有：0.99•••=0.9 0.09 •••

0.9 0.09 •••<1，其极限值是1.

构造数列：0.9；0.99；•••；1-10^（-n）；•••，这个数列无限逼近1，它的每一项值都不等于1，这个数列验证了不等式，

0.9 0.09 •••<1

另一个例子，

1/3=0.33•••3（第n个3） 1/3*10^（-n）

永恒存在

1/3>0.33•••

两边取极限，则

1/3=0.33•••（其极限值），

其中1/3*10^（-n）极限值等于零。