几何光学与成像理论（魅力的几何光学）

光，是我们这个世界最常见也是最神秘的现象。其实人类从文明开始的时候，就已经探索光了。在几乎所有的神话里，总是会有类似的开头，光明劈开黑暗和混沌，世界开始运转。光从人类文明一开始就被认为是这个世界运转的终极奥义，代表着未来，生命，活力。可是，光到底是什么？哥本哈根学派有一句名言，先有自然才有人类，但是先有人类才有自然科学。人类天生是拥有好奇心的群体，我们在认识自然的时候，总是希望能够搞明白一件事情背后的原因，才能罢休。

对于"光是什么"这个问题，从久远的几千年前人们就试图去用理论解释。最开始人们认为，光是从我们眼睛中发射出去的东西，碰到物体了，我们就看到了这个物体。但是慢慢的发现有一个问题：如果在一片漆黑的夜晚，我们睁开眼睛，也看不到东西。如果光是从我们眼睛里发出来的话，不应该看不见东西。

公元前300年左右，欧几里得在著作《光学》中写到了他对光性质的研究。欧几里得设想光线笔直传播，用数学方法研究并阐述了反射定律。之后托勒密在他的著作里对于光的反射做了详细的研究，给出了完整的光的反射理论，这理论能够分析光从平面镜、圆球面镜、圆柱面镜等等凹面形或凸面形镜子的反射。并且设计了一些光的折射的实验。由此人类，开始认识到光的基本的传播规律。

时间拉到千年以后的中世纪，整个欧洲处于科学的黑暗时期，而同时代的阿拉伯科学家登上了历史舞台，他们进一步发展了光学理论。比如看到物体的基本原理，是因为光通过物体反射到我们眼睛里成像，我们才能看到，而不是因为我们眼睛发射光线去碰撞物体。比如为巴格达宫廷效劳的伊朗学者伊本·沙尔在专著《论点火镜子与透镜》里最先正确地表述出折射定律。不过没有得到重视。

到了近代科学时代，对于光学的研究越来越多，荷兰物理学家威理博·斯涅尔总结了前人的研究，于1621年发表了光的折射定律的数学公式。关于几何光学的一些基本定理，都有了基本的研究。

一般科学研究到了这个阶段，会出现一个极简的基本定理，就像超级大佬牛顿横空出世，用几条基本的定理来推导万事万物的运动一样。

到了1662年，被后世称为"业余数学之王"的费马，给出了一个几何光学的基本定理：光线传播的路径是需时最少的路径。怎么理解这个规律呢？正常情况光是沿直线传播的，因为两点之间直线最短。但是光从空气进入水中，不是沿一条直线传播？而是发生了折射，这样距离不是变长了么？

但是我们知道，光在空气中传播速度非常快，而在水中传播速度会变得很慢。如果沿直线传播，在水中走过的路程，会比按照折射定律发生的路径要长，所用的时间反而更多，所以需要一个折射，选择用时最短的路径。

通过这条理论，可以推出真空中光沿直线传播，光的反射定律，光的折射定律。当然费马的这个定理后来做了一定程度的修正，改成了一个更为严谨的数学表述，（费马原理的最准确表述应该是：过两个定点的光走且仅走光程的一阶变分为零的路径）。总之，通过费马定理，我们能推导出光的很多运动规律。

下面看看光的反射知识应用的典型数学问题案例吧

下图的这个人，现在要回家了，但是，他打算在回家前先去河边喝一口水。

那么，他应该怎么走才能使得喝水后回家的路径最短呢？我们把人的位置标为点A，房子的位置标为点B，河岸用直线l来表示，同时我们把河岸看成一面镜子，点B在镜子中就有个镜像B'。

接下来我可以告诉大家哪条路径才是最短的。先在河岸线上任选一点C--D，人走到D点喝完水再回家的路径长度是AC＋CB，注意了CB在镜子中的镜像是CB'，所以路径长是AC＋CB＝AC＋CB'。但是AC＋CB'是连接A和B'的折线ACB'的长度，根据"线段公理"，A和B'之间，线段AB'才是最短的，所以AC＋CB＝AC＋CB'≥AB'。也就是说不论你怎么走，路程都不会小于AB'。

讲到这里，最短路径的选择也就呼之欲出了。把线段AB'与河岸线的交点记为D，这时AD＋DB＝AD＋DB'＝AB'。所以，折线ADB就是喝水后再回家的最短路径！

现在我们来提一个稍微复杂一点的问题：下图的这个人带着一只羊，他打算先去河边喝一口水，然后去草地上把羊喂饱最后再回家。那么，他应该怎么走才能使得先喝水，再喂草，最后回家的路径最短呢？

其实方法和上一节非常类似，只不过稍稍复杂一点。我们把人与羊的位置标为点A，房子的位置标为点B，河岸用蓝线来表示，草地边界线用绿线来表示，同时我们把河岸和草地边界看成两面镜子，点B在上面镜中就有个镜像B'，而点B'在下面镜中又有个镜像B''。

先在河岸线和草地边界上分别任选两点C，D，人和羊走到C点喝完水，再去D点喂草，最后再回家的路径长度是AC＋CD＋DB(下图实线)。假设点D在下面镜中镜像为D'，那么路径长是：

但是AC＋CD'＋D'B''是连接A和B''的折线ACD'B''的长度，根据"线段公理"，A和B''之间，线段AB''才是最短的，所以AC＋CD＋DB≥AB''。也就是说不论你怎么走，路程都不会小于AB''。

考考您：现在如何选取路径，使得长度刚好等于AB''？

刚才的镜子都是假设的，现在我们在下图上下边要用两个真正的镜子。假设B点处是一个光源，我们站在A点观察。在A点可以看到许多条光线，因为在两个镜子的互相映照下，B点光源有无数个镜像光源，比如下图中的两个镜像光源B'，B''。而其中最亮的光线，也是最短的光线，肯定是由B点直接照射向A 点的光线。

但现在我在B点前方设置一个紫色障碍，这时，从A点看到的最亮的，也是最短的光线就是经过一次折射后照过来的两根光线(如上图所示)，也就是分别从镜像光源B'，B''照射过来的两根光线。注意了，这两根光线其实分别对应着上两节中喝完水直接回家，或喂完草直接回家的最短路径。这里涉及到光学的一个原理：在均匀介质中，光总是沿着最短路径传播。

接下来，我们在A，B两点周围分别设如下的紫色障碍，这时上面的两条折射光线已经被挡住了。现在，从A点看到的最亮的，也是最短的光线就是经过两次折射后照过来的光线(如上图所示)。而这根光线对应着上一节中喝完水，接着喂草，最后回家的最短路径。所以光能帮我们找到最短路径，实际上每个带限制条件(比如先喝水还是先喂草，喝几次水，喂几次草)的最短路径，都对应着从B点到A点的一根光线。