高次方程均值不等式解法（可化为一次分式的均值不等式的万能解法）

均值不等式历来是高考中的难点，本文将介绍一种可化为一次分式不等式的均值不等式的万能解法。该方法可覆盖高考中绝大多数的题型，且保证100%解出，但实际解题中，仍鼓励使用“技巧性”方法。

首先看一道例题：

若正数x,y满足x 2y=4xy，求x y/2的最小值

以下是很多同学常见的错误解法：

上述解法的错误在于将 x 2y = 4xy 这个约束条件进行了放缩，所以结果并不符合约束条件的要求。

更明确的说：①式中等号成立的条件是x=2y，②式中等号成立的条件是x=y/2，所以按照约束条件的要求，x y/2是无法取得上述最小值1的。

如何保留约束条件的完整信息是求解不等式问题的关键之一。

本例的技巧性解法如下：

但技巧性解法千变万化，把握规律并不容易，一旦思路不畅，考场上可能浪费大量时间。

为了规避将约束条件放缩后导致的错误，所求式应尽量保留约束条件的一切信息，故可按照如下思路进行：

1.从约束条件推导任意未知数的表达式；

2.代入所求式，将所求式化为一次分式（此时也可通过导数求最值，但极不推荐。另，高次分式不等式不在本文讨论范畴）；

3.将分式凑成：常数 b/a a/b 的形式；

4.利用均值不等式求得最值。

利用上述思路及方法考察例题：

首先，推导任意未知数表达式。如：可将x 2y = 4xy 写成 x = 2y/(4y-1)。（此时保留了约束条件的一切信息）

代入所求式，化为一次分式，即：

（此时可通过导数求最值，但不推荐，尽管此题利用导数求解也并不麻烦）

调整分式：

等号成立条件为：

即：y=3/4。

很多学生可能觉得，将分式凑成：常数 b/a a/b的形式并不容易。当然这里需要一定的熟练度才能快速写出，但其本质是待定系数的思想，由此我们可以推导万能解法的一般代数形式。

对于形如：

的一次分式，利用均值不等式求最小值的万能解法（其中分式中的分子和分母均为正数）。

如果要化成：常数 b/a a/b 的形式，则需将c1x d1化成m1(a1x b1) n1(a2x b2)的形式，前半部分可以形成常数m1，后半部分可以利用均值不等式，与第二个分式的分母相消。故：

同理，将c2x d2化成m2(a2x b2) n2(a1x b1)，即：

显然a1b2≠a2b1，否则这两个分式是可以合并同类项的。于是：

上述结论的代数形式复杂，仅供参考，万能解法的关键在于待定系数的思路及熟练拆分分子的方法。

例：若正实数x,y满足2x y 6=xy，则xy的最小值是多少？

另，本题的其他主流解法为换元：令2x y=p，xy=q，有能力的同学可以自行尝试。换元的关键同样在于如何保留约束条件的全部信息，换元之后只得到p 6=q是肯定不行的。

至于换元解不等式问题，另文再议。

提供几个习题，请尝试用万能解法求解：

1.已知x>0,y>0,x 2y 2xy=8,求x 2y的最小值（本题技巧性解法为换元，方法如上）

2.已知0<x<1 求5/(1-x) 3/x的最小值（本题技巧性解法为原式乘以（1-x x））

3.若正数x,y满足x 3y=5xy,求3x 4y的最小值（本题技巧性解法为约束条件左右同除以xy，再乘到3x 4y中）

文|高见远，转载请注明出处。