素数定理初等证明是什么（用最简单的方式解释黎曼猜想）

要想理解黎曼猜想，我们首先要了解质数定理（素数定理）。在数学中，素数定理（PNT）描述了正整数中素数的渐近分布。它通过精确量化质数出现的速率，形成了数越大，质数就越不常见这一直观观点。该定理在1896年由雅克·阿达马等人用黎曼zeta函数（ ζ函数）证明。

小于给定数的质数有多少个？

取一个正整数，我以28为例。什么数能整除它？答案是：1、2、4、7、14、28。这些是28的因数（因子）。我们说，28有6个因数。不难得出，每个数都有1和自身作为因数，除1和自身以外的因子叫作真因数，如28的真因数是2、4、7、14。而29没有真因数。质数就是那些没有真因数的正整数。

下面是1到1000的质数：

如你所见，总共有168个。如果你仔细观察这个质数列表，你会发现它们出现的频率越来越低。在1到100之间有25个质数；401到500之间有17个；901到1000只有14个。在任何由100个整数组成的区间中，质数的数量似乎都在减少。如果我们列出所有小于100万的质数，你会看到在最后的100个整数中（即从999901到100万）只有8个质数。如果继续扩大到1万亿，那么最后100整数中只有4个质数（它们是：999,999,999,937；999,999,999,959；999,999,999,961和 999,999,999,989）。

质数有多少个？

问题自然就出现了，如果继续下去，最终会不会达到一个点，超过这个点就没有质数了，那么就会存在一个最大质数？

欧几里得在公元前300年左右找到了这个问题的答案。没有最大的质数。无论你找到多大的质数，总是能找到更大的质数。有很多方法能证明“质数有无穷多个”，网上都能找到，不在这里给出。

接下来数学家们自然好奇的是：我们能确定质数的（增长）规律（分布）吗？小于100的质数有25个，而小于1000的质数是168（而不是250），质数不是均匀分布的，而是越来越“稀薄”。但为什么是168年？为什么不是158或178，或其他数字？有没有一个规则，一个公式，告诉我小于给定整数的质数有多少个？

• 表1，素数计数函数

像上表这样的两列是一种函数的表示。

“函数”是数学中最重要的概念之一。函数的主要思想是，根据某种固定的规则或过程，某个数字（右边一列中的数字）取决于另一个数字（左边一列中的数字）。在上表中，规则是：“数到左边一列的数字为止，共有多少个素数。”

另一种说法是：函数是一种转化方式（数学家说“映射”），即把一个数字变成另一个数字。上表中的函数将数字1000转化为数字168——同样，通过某种确定的规则。

重要的函数都是有名称的，上表表示的函数是“素数计数函数”，符号为 π (N)。这里的π是欧拉首先使用的，与圆周率毫无关系。

所以π (N)被定义为到N为止的质数的个数。回到我们的主要问题：是否有一些规则，一些简洁的公式，可以让我们计算出π（N）？

下面我们用N/π（N），得到下表：

• 表2

仔细表2：右边一列，似乎是一个以7为“公差”的等差数列。这可能不会让你觉得很奇妙，但当一个数学家看到这样的表时，他的脑海中就会闪现出一个特别的词。让我解释一下。

有一类函数在数学中非常重要，那就是指数函数。你很可能对他们有所了解。“指数”这个词已经从数学中“跑到”了日常语言中。我们都希望我们的财富呈指数增长，也就是说，越来越快。

• 表3，指数函数的一个例子。

表三是一个指数函数，自变量通过“加法”增加，函数值则以“乘法”增加。在众多指数函数中，数学家最喜欢的一个可能是：

• 表4

我不能在不涉及微积分的情况下解释e的重要性，但我的目的是用最简单的方式来解释黎曼猜想。因此，我只能告诉你e是一个非常非常重要的数字，没有其他指数函数能比得上这个函数。

相反的情况呢？假设有这么一个函数，它的规则是：当参数（自变量）通过乘法增加时，函数值通过加法增加，这是什么函数呢？

这里我们已经进入了逆函数的领域。数学家们非常热衷于求逆——把它们颠倒过来。如果y是8乘以x，x怎么用y表示？除法是乘法的逆运算。一种叫作“平方”的运算，就是把一个数和自己相乘，它的逆运算是什么？如果y = x^2，用y表示，x等于多少？它是y的平方根。如果你懂一点微积分，你就会知道有一个过程叫作“微分”，你可以用它来把一个函数f转换成另一个函数g，它会告诉你f在任意参数下的瞬时变化率。

在与黎曼假设相关的数学中，对数函数无处不在。我在后面的文章详细介绍。现在，你只要知道它是一个非常重要的函数，并且如果y = e^x，则x = logy。

我将直接切入正题，向你们展示对数函数。当将函数表示为表格的形式时，我可以选择参数和小数点的位数。

• 表5，对数函数

下面的表述似乎是合理的：N / π (N)接近于log N；N越大，越接近。以一般的代数规则表述是：

当然，我还没有证明这个（结论），我只是说它是可能的。这是一个非常重要的结论，被称为“素数定理（the Prime Number Theorem，PNT）”。

最后是PNT的两个结果，假设它是真的。

• N是素数的概率是：

• 第n个素数是：

接下来，我们将继续深入……