大学解析几何第三版知识点（北京大学2007年高等代数与解析几何试题及解答）

虽然这份试题里面的很多题目依旧能在丘爷爷的书里找到，但是因为那些题在其他书上基本也能找到，所以2007年的这份高等代数试题中没有十分明显的丘爷爷的气息。整份试题中的绝大多数题目都是比较经典的题目，总体难度不算很大，只有第三题显得比较与众不同，建议一定要自己先做了第三题再看解答。

第一题第一问只是需要用下矩阵的迹，比较有趣的一件事是在无穷维线性空间中那样的线性变换是存在的。第二问差不多算特征向量了。第三题比较经典，习题书上一般都有，北京大学2011年高等代数第一题第一问与这题有些关系。第四问是关于线性方程组的，北大似乎很喜欢考线性方程组的知识。第五问与北京大学1997年的高等代数第五题是相关的。

第二题又是关于矩阵秩的问题，以前考过不少等式，这个不等式的情况也能用分块矩阵的方法来做，我还写了一个用线性方程组的解空间来做的方法。

第三题应该算是这份题里面最难弄的一道题，虽然我自己想了一个解答，但是我还是没能想到考这个题有什么价值。思路还是蛮简单的因为有三个变量，先把一个量换成其他量，展开来看看能得到什么等式，β和γ是对称的，其中把它们中的一个换成α其实得到是一样的结果，另外相反的换法是把α换成β与γ的线性组合，于是从原等式出发得到了两个新的恒等式，然后分类讨论可以看出在一种情形下f应该是反对称的，相反的一种情形下要证f是对称的，比较自然的想法就是用反证法。

第四题是教材上很常见的问题。

第五题教材上也很常见，不过我所看过的书里都是用Newton公式来证，我觉得那个公式不是很好记，然后自己想了一个借助于Vandermonde行列式的做法。

第六题与北京大学2014高等代数的一个题相关。

第七题又是求点的轨迹，我的第一想法是建立坐标系求方程，而网上流传的那份解答里有一个用向量方法来做的解法，我觉得有一定的参考价值，就基本原封不动地摘录了下来。

第八题虽然有四个小问，但是一个有意思的都没有。

第9题差不多算是让求双曲抛物面的相互垂直的直母线的交线，北京大学2014的解析几何试题里让求另外一种比较特殊的直纹面的相互垂直的直母线的交线。

第10题求平分弦的方程以前没有考过。