八年级数学正方形求辅助线（怎么求正方形对角线交点的运动轨迹）

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利用正方形的性质求动点的运动轨迹是初二数学的重要题型，本文就例题详细解析这类题型的解题方法，希望能给初二学生的数学学习带来帮助。

如图，在平面直角坐标系中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC，BD交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴，y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C，D在第一象限

（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标；

（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上。

解题过程：

1、当∠BAO=45°时，求点P的坐标

根据正方形的性质和题目中的条件：四边形ABCD为正方形，则AC平分∠BAD，∠BAD=90°，AC⊥BD，AP=BP；

根据结论：AC平分∠BAD，∠BAD=90°，则∠BAC=∠BAD/2=45°；

根据题目中的条件和结论：∠BAO=45°，∠BAC=45°，则∠OAP=∠BAC ∠BAO=90°，即AC⊥x轴；

根据平行线的判定和结论：AC⊥BD，AC⊥x轴，则BD∥x轴；

根据平行线的性质和结论：BD∥x轴，∠AOB=90°，则∠DBO ∠AOB=180°，即∠DBO=90°，BP⊥y轴；

根据勾股定理和结论：AB=a，BP=AP，AB^2=AP^2 BP^2，则AP=BP=√2/2a；

根据结论：AP=BP=√2/2a，BP⊥y轴，AC⊥x轴，则点P的坐标为(√2/2a,√2/2a)；

2、证明：点P都在∠AOB的平分线上

过点P作PE⊥x轴，PF⊥y轴

根据题目中的条件：PE⊥x轴，PF⊥y轴，AC⊥BD，则∠PEA=∠PFB=∠PEO=∠APB=90°；

根据结论：∠PFB=∠PEO=90°，∠AOB=90°，则∠FPE=90°；

根据结论：∠FPE=∠APB=90°，∠FPE=∠BPE ∠BPF，∠APB=∠BPE ∠APE，则∠BPF=∠APE；

根据全等三角形的判定和结论：∠BPF=∠APE，∠PFB=∠PEA，BP=AP，则△BFP≌△AEP；

根据全等三角形的性质和结论：△BFP≌△AEP，则PE=PF；

根据角平分线的判定和结论：PE⊥x轴，PF⊥y轴，PE=PF，则点P在∠AOB的平分线上。

解决本题的关键是利用正方形的性质得到线段、角度间的数量关系，通过构造全等三角形得到线段间的等量关系，进而证明到题目需要的结论。