图形必背公式大全（用图形证公式法则很直观）

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数学是研究数量关系和空间形式的科学，也就是说数学研究的对象是数与形，数与形二者关系是独立的，又是互相依存相互转化的。著名数学家华罗庚曾说过：数缺形时少直观，形少数时难入微。也就是说以形助数显直观，以数助形显精细。下面我们举几个以形助数的例子，体会一下抽象的式子问题变得直观易懂。

一、单项式乘多项式法则图形推导:

a（b c）=ab ac

如图1,

由S矩形EFCB=S矩形EFDA S矩形ADCB

易得a（b c）=ab ac

二、多项式乘多项式法则图形推导

（a b）（c d）=ac ad bc bd

如图2

由S矩形GLOM=S矩形GJIH S矩形HINM S矩形JLKI S矩形IKON

易得

（a b）（c d）=ac ad bc bd

三、平方差公式图形推导:

（a b）（a-b）=a²-b²

如图3

由S梯形ABEH S梯形BCGH S梯形CDFG S梯形ADFE=S正方形ABCD-S正方形EFGH

易得

½（a b）½（a-b） ½（a b）½（a-b）

½（a b）½（a-b） ½（a b）½（a-b）=a²-b²

整理得（a b）（a-b）=a²-b²

四、完全平方公式的图形推导

（一）（a b）²=a² 2ab b²

如图4，

由S正方形PBQF=S正方形ABCD S矩形PADG S矩形CDEQ S正方形GDEF

即（a b）²=a² ab ab b²

整理可得:（a b）²=a² 2ab b²

（二）（a-b）²=a²-2ab b²

如图5，

由S正方形DGFE=S正方形ARFS-S矩形ACES-S矩形ARGB S正方形ABDC

即（a-b）²=a²-ab-ab b²

整理可得:（a b）²=a²-2ab b²

六、勾股定理的图形推导

（一）证法一

如图6，用四个全等的直角三角形拼成的正方形，已知直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c，那么a² b²=c²

如图6

S正方形ABCD -S正方形EFGH =4S△ABE ．

所以：（a b）²-c²=4×½ab

即a² 2ab b²-c²=2ab

从而，可得a² b²=c²．

（二）证法二

S正方形ABCD -S正方形EFGH =4S△ABE ．

所以：c²-（a b）²=4×½ab

即c²-（a² 2ab b²）=2ab

从而，可得a² b²=c²．

证法三——总统证法

S梯形BCDHF

=SΔBFG S△FGH S△CGH．

所以：

½（a b）（a b）

=½c² ½ab ½ab

即a² 2ab b²=c² ab ab

从而，可得a² b²=c²．

上面的例子本来是数学公式法则定理的式子表达式，是属于数量关系式，但是这些式子赋予一些图形意义，用图形的知识去推导公式法则更显得直观易懂，所以说“数”与“形”是相互依存，相互转化的，而不只是独立存在的。

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