顶角150的等腰三角形三边比例（的等腰三角形腰和底的关系的应用）

结论：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，

则BC=AB=AC。

图1

应用：

例1、（2020年梁子湖模拟试题）如图2，平行四边形ABCD中，DB=AB，∠ABD=30º，将平行四边形ABCD绕点A旋转至平行四边形AMNE的位置，使点E落在BD上，ME交AB于点O，则的值是（）

A. B.

C. D.

图2

分析：∵DB=AB，∠ABD=30º

∴∠ADB=75º

由旋转知，AD=AE

∴∠DAE=180º-75º-75º=30º

即旋转角为30º

∴∠OAM=30º

又∵∠AME=∠ABD=30º

∴∠A0M=120º

设A0=1，则AM=

∴AB=，BO=

∴

故选择（B）

例2、如图3，在△ABC中，AC=

2，∠ABC=45º，∠BAC

=15º，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD。过点A作AE，使∠DAE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（）

A. B. 3 C. D.4

图3

分析：如图3，

∵∠ABC=45º，∠BAC=15º

∴∠ACB=120º

由折叠知，

∠ACD=120º，∠DAC=15º

∴∠DAE=∠DAC=15º

∴∠CAE=30º

∴△ACE是顶角为120º的等腰三角形

∴AC=CE，AE==

∵BC=BC

∠BCE=∠BCA=120º

∴△BCE≌△BCA

∴△ABE是等腰直角三角形

∴AE=BE

∴BE=

故选择（C）

例3、（2019年自贡中考数学试题）如图4，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos(α β)= ▲

分析：如图5，连接DE，则∠EDC=∠α=30º，∴△ECD是顶角为120º的等腰三角形，△ADE是Rt△，设AB=1

∴AE=2，DE=，AD=

∴cos(α β)=

例4、（2019年梧州中考数学试题）如图6，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60º，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转后，得到菱形AEFG。点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是 ▲

图6

分析：由菱形性质知，△ADC是顶角为120º的等腰三角形，△PCE是含30º角的直角三角形∴AC==

EC=AC-AE=

∴PE=

PC=PE=

∴DP=

例5、（2017年安徽中考数学试题）在三角形纸片ABC中，∠A=90º，∠C=30º，AC=30cm.将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图7），剪去△CDE后得到双层△BDE（如图8），再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形.则所得平行四边形的周长为▲ cm.

分析：①如图9，取BD的中点F，连接EF，则所得的四边形是平行四边形，且是菱形。因为AC=30cm，∠C=30º，所以AD=DE=10cm，故所得平行四边形的周长为40cm。

②如图10，作BD的垂直平分线交BE于N，连接DN，则所得四边形是平行四边形，且是菱形，而△BDN是顶角为120º的等腰三角形，所以BD=DN，则DN=，故所得平行四边形的周长为。

,