中考数学新定义专题（中考数学微专题4）

“新定义”问题可以考查学生的阅读能力、适应能力、探索能力、解决问题的能力以及类比、分类讨论等数学思想，它与所考查的知识点有机融合，既能发挥试题的区分功能，也能兼顾基础知识的整体考察，因此近年来在各地中考中频频亮相．现就中考试题进行分类解析，以展示“新定义”问题的独特之处．

一、定义新“运算”

例1

对于任意非零实数a、b，定义运算“”，使下列式子成立：

分析 由新运算数字等式得出变化规律，即可得解．

点评 本题通过定义新运算，从一个新的视角考查了找规律试题，根据已知得出数字中的变与不变是解题关键．

二、定义新“数”

例2若正整数n使得在计算n＋(n＋1)＋（n＋2）的过程中，各数位均不产生进位现象，则称n为“本位数“．例如2和30是“本位数”，而5和91不是“本位数”，现从所有大于0且小于100的“本位数”中，随机抽取一个数，抽到偶数的概率为________．

分析 满足题意的“本位数”有：1、2、10、11、12、20、21、22、30、31、32，根据概率公式计算可得解．

点评 本题定义新数，构思新颖，同时考查了概率公式．

三、定义新“函数”

例3设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为(a，b)．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．

点评 本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，一次函数、反比例函数图象的性质解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义，解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．

四、定义新“点”

例4 对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB＝60°，则称P为⊙C的关联点．

(1)当⊙O的半径为1时，①在点D，E，F中，⊙O的关联点是_______；②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO＝30°，若直线l上的点P(m，n)是⊙O的关联点，求m的取值范围；

(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．

分析 “新定义”问题最关键的是能够把“新定义”转化为自己熟悉的知识，通过题意，可以看出本题的“关联点”本质就是到圆心的距离小于或等于2倍半径的点．

点评 本题是北京市中考压轴题，考查的知识点有一次函数、圆、特殊直角三角形等．

五、定义新“线”及新“四边形”

例5若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．

(1)如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝120°，∠C＝75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；

(2)如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A、B、C均在格点上．请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；

(3)四边形ABCD中，AB＝AD＝BC，∠BAD＝90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．

分析 由新定义，易得(1)(2)．

(3)由AC是四边形ABCD的和谐线，可得出△ACD是等腰三角形．从图3得AC＝AD，图4得AD＝CD，图5得AC＝CD，三种情况运用等边三角形、正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数．

点评 本题通过定义和谐线、和谐四边形，考查了等边三角形、正方形、30°的直角三角形的性质的运用，以及圆弧的概念，解答时容易忽略图5这种情况，因此，合理运用分类讨论思想是关键．

六、定义新“角”

例6 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°?，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_______．

分析 由特征角定义，即可得解，

点评 此题由新定义考查了三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键．

七、定义新“相似”

例7 对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图6，△ABC∽△A'B'C’且沿周界ABCA与A'B'C'A'环绕的方向相同，因此△ABC与△A'B'C'互为顺相似；如图7，△ABC∽△A'B'C'，且沿周界ABCA与A'B'C'A'环绕的方向相反，因此△ABC与△A'B'C'互为逆相似．

(1)根据图8、图9和图10满足的条件，可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC；②△GHO与△KFO；③△NQP与△NMQ．其中，互为顺相似的是_______；互为逆相似的是_______（填写所有符合要求的序号）

(2)在锐角△ABC中，∠A<∠B<∠C．点P在△ABC的边上（不与点A、B、C重合）．过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似．请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由．

分析 (1)略．

(2)根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况：

①如图11，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出2条截线PQ1、PQ2．

②如图12，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作∠CBM＝∠A，BM交AC于点M．

当点P在AM(不含点M)上时，过点P1只能画出1条截线P1Q；当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，

③如图13，点P在AB(不含点A、B)上，过点C作∠BCD＝∠A，∠ACE＝∠B，CD、CE分别交AC于点D、E．[来源:Z xx k.Com]

当点P在AD（不含点D）上时，过点P只能画出1条截线P1Q；当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2；当点P在BE(不含点E)上时，过点P3只能画出1条截线P3Q'．

点评 本题从课本习题出发，通过新定义以及恰当的图形变化，发现图形间的内在联系，本题是创新型中考压轴题，主要考查了相似三角形的知识、分类讨论的数学思想．

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