中考数学新定义专题(中考数学微专题4)

“新定义”问题可以考查学生的阅读能力、适应能力、探索能力、解决问题的能力以及类比、分类讨论等数学思想,它与所考查的知识点有机融合,既能发挥试题的区分功能,也能兼顾基础知识的整体考察,因此近年来在各地中考中频频亮相.现就中考试题进行分类解析,以展示“新定义”问题的独特之处.

一、定义新“运算”

例1

对于任意非零实数a、b,定义运算“”,使下列式子成立:

中考数学新定义专题(中考数学微专题4)(1)

分析 由新运算数字等式得出变化规律,即可得解.

点评 本题通过定义新运算,从一个新的视角考查了找规律试题,根据已知得出数字中的变与不变是解题关键.

二、定义新“数”

例2若正整数n使得在计算n+(n+1)+(n+2)的过程中,各数位均不产生进位现象,则称n为“本位数“.例如2和30是“本位数”,而5和91不是“本位数”,现从所有大于0且小于100的“本位数”中,随机抽取一个数,抽到偶数的概率为________.

分析 满足题意的“本位数”有:1、2、10、11、12、20、21、22、30、31、32,根据概率公式计算可得解.

点评 本题定义新数,构思新颖,同时考查了概率公式.

三、定义新“函数”

例3设a、b是任意两个不等实数,我们规定:满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间,表示为(a,b).对于一个函数,如果它的自变量x与函数值y满足:当m≤x≤n时,有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m,n]上的“闭函数”.

中考数学新定义专题(中考数学微专题4)(2)

点评 本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性,一次函数、反比例函数图象的性质解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义,解题时,也要注意“分类讨论”数学思想的应用.

四、定义新“点”

例4 对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下定义:若⊙C上存在两个点A,B,使得∠APB=60°,则称P为⊙C的关联点.

中考数学新定义专题(中考数学微专题4)(3)

(1)当⊙O的半径为1时,①在点D,E,F中,⊙O的关联点是_______;②过点F作直线l交y轴正半轴于点G,使∠GFO=30°,若直线l上的点P(m,n)是⊙O的关联点,求m的取值范围;

(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,求这个圆的半径r的取值范围.

分析 “新定义”问题最关键的是能够把“新定义”转化为自己熟悉的知识,通过题意,可以看出本题的“关联点”本质就是到圆心的距离小于或等于2倍半径的点.

点评 本题是北京市中考压轴题,考查的知识点有一次函数、圆、特殊直角三角形等.

五、定义新“线”及新“四边形”

例5若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线,这个四边形叫做和谐四边形.如菱形就是和谐四边形.

(1)如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=120°,∠C=75°,BD平分∠ABC.求证:BD是梯形ABCD的和谐线;

中考数学新定义专题(中考数学微专题4)(4)

中考数学新定义专题(中考数学微专题4)(5)

(2)如图2,在12×16的网格图上(每个小正方形的边长为1)有一个扇形BAC,点A、B、C均在格点上.请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D,使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线,并画出相应的和谐四边形;

(3)四边形ABCD中,AB=AD=BC,∠BAD=90°,AC是四边形ABCD的和谐线,求∠BCD的度数.

分析 由新定义,易得(1)(2).

(3)由AC是四边形ABCD的和谐线,可得出△ACD是等腰三角形.从图3得AC=AD,图4得AD=CD,图5得AC=CD,三种情况运用等边三角形、正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数.

中考数学新定义专题(中考数学微专题4)(6)

中考数学新定义专题(中考数学微专题4)(7)

点评 本题通过定义和谐线、和谐四边形,考查了等边三角形、正方形、30°的直角三角形的性质的运用,以及圆弧的概念,解答时容易忽略图5这种情况,因此,合理运用分类讨论思想是关键.

六、定义新“角”

例6 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°?,那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_______.

分析 由特征角定义,即可得解,

点评 此题由新定义考查了三角形的内角和定理,根据已知得出β的度数是解题关键.

七、定义新“相似”

例7 对于两个相似三角形,如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同,那么称这两个三角形互为顺相似;如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反,那么称这两个三角形互为逆相似.例如,如图6,△ABC∽△A'B'C’且沿周界ABCA与A'B'C'A'环绕的方向相同,因此△ABC与△A'B'C'互为顺相似;如图7,△ABC∽△A'B'C',且沿周界ABCA与A'B'C'A'环绕的方向相反,因此△ABC与△A'B'C'互为逆相似.

中考数学新定义专题(中考数学微专题4)(8)

中考数学新定义专题(中考数学微专题4)(9)

(1)根据图8、图9和图10满足的条件,可得下列三对相似三角形:①△ADE与△ABC;②△GHO与△KFO;③△NQP与△NMQ.其中,互为顺相似的是_______;互为逆相似的是_______(填写所有符合要求的序号)

中考数学新定义专题(中考数学微专题4)(10)

(2)在锐角△ABC中,∠A<∠B<∠C.点P在△ABC的边上(不与点A、B、C重合).过点P画直线截△ABC,使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似.请根据点P的不同位置,探索过点P的截线的情形,画出图形并说明截线满足的条件,不必说明理由.

分析 (1)略.

(2)根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况:

①如图11,点P在BC(不含点B、C)上,过点P只能画出2条截线PQ1、PQ2.

中考数学新定义专题(中考数学微专题4)(11)

中考数学新定义专题(中考数学微专题4)(12)

②如图12,点P在AC(不含点A、C)上,过点B作∠CBM=∠A,BM交AC于点M.

当点P在AM(不含点M)上时,过点P1只能画出1条截线P1Q;当点P在CM上时,过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2,

③如图13,点P在AB(不含点A、B)上,过点C作∠BCD=∠A,∠ACE=∠B,CD、CE分别交AC于点D、E.[来源:Z xx k.Com]

当点P在AD(不含点D)上时,过点P只能画出1条截线P1Q;当点P在DE上时,过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2;当点P在BE(不含点E)上时,过点P3只能画出1条截线P3Q'.

点评 本题从课本习题出发,通过新定义以及恰当的图形变化,发现图形间的内在联系,本题是创新型中考压轴题,主要考查了相似三角形的知识、分类讨论的数学思想.

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