最小的质数和最大的质数都是什么（质数的最小间隔有上限）

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导读

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张益唐不但留下了一个“始不垂翅，终能奋翼”的传奇，而且他的宠辱不惊也耐人寻味。各界人士对他的热情帮助，以及他成名后对社会的热情反馈，都充满了人性的光辉。正如《论语》里的名言：“一箪食，一瓢饮，在陋巷，人不堪其忧，回也不改其乐。贤哉，回也！”

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双十一刚过，许多人是不是正处在剁手后的吃土时间？今天，我们就来介绍一位吃土界的宗师级人物。他倒不是买了太多东西，而是在很长时间内根本没钱买东西。但与众不同的是，他在各种艰难困苦的条件下，都一直在研究世界难题，最后终于石破天惊。他就是传奇数学家张益唐。

张益唐

张益唐做了什么呢？回答非常有意思。

数学家的成果往往很难向大众介绍，因为仅仅听懂他们在研究什么问题都需要很多背景知识。而且张益唐是当代人，一般而言，越往后的就离普通人越远。然而，张益唐却是个大大的反例，他的研究成果是很容易解释的。容易到什么程度呢？小学水平就够了！

首先，大家都知道什么是质数（prime number），对吧？质数就是只能被1和自己整除的自然数，也被称为素数。能被1和自己之外的数整除的自然数，叫做合数（composite number）。

最小的质数是2，下一个是3，然后是5，然后是7。显然，2以外的质数都只能是奇数。我们沿着奇数一路看下去。

下一个奇数9不是质数，因为它等于3 × 3。下面两个奇数11和13，又是质数。下一个奇数15不是质数，它等于3 × 5。再下面两个奇数17和19，又是质数。下一个奇数21不是质数，它等于3 × 7。下一个奇数23，又是质数。再下面两个奇数25和27不是质数，它们等于5 × 5和3 × 3 × 3。再下面两个奇数29和31，又是质数。如此等等。

100以内的质数和合数表

我们可以观察到什么现象呢？

一开始，质数十分密集，但后面变得越来越稀疏。这是因为数越大，可能的分解方式就越多，它成为质数的几率就越低。

这就引出了一个基本问题：质数的数目是有限还是无限呢？也就是说，会不会到了某个数以上，就全都是合数，再也没有质数了？

对此我们有明确的答案：质数有无穷多个。这是欧几里得在《几何原本》中证明的。这个证明非常经典，而且一点都不难，你能想到吗？我们会单独录一个视频，来证明质数有无穷多个。

然后，另一个观察是，有些质数之间只相差2，例如3和5、5和7、11和13、17和19、29和31。我们把这样的一对质数称为“孪生质数”（twin primes）。显然，随着质数变得越来越稀疏，孪生质数也会变得越来越稀疏。

例如23周围就没有孪生质数，因为21和25都不是质数。23是第一个单独出现的质数，而在后面的质数中，单独出现的几率会越来越高，孪生出现的几率会越来越低。

所以，一个自然的问题就是：孪生质数对的数目是有限还是无限呢？也就是说，会不会到了某个数以上，就全都是合数或者单独出现的质数，再也没有孪生质数了？

这个问题小学生都能理解，但答案我们还不知道。数论的一大特点，就是一个普通人提出的问题，无数聪明人奋斗几千年都不一定能解答。

目前，我们已知的最大的孪生质数对是：

3756801695685× 2666669 - 1和3756801695685 × 2666669 1。

这两个数用十进制表示，长度有20多万位！

一个合理的感觉是：随着数的增大，孪生质数出现得越来越稀疏，但永远不会消失，它们总会倔强地在某个地方再次出现。绝大多数数学家都相信这个命题，但谁也不能证明或证伪它。

这个命题叫做“孪生质数猜想”（twin prime conjecture），是整个数学中最著名的未解之谜之一。1900年，德国数学大师希尔伯特（David Hilbert，1862 - 1943）提出了指导二十世纪数学发展的23个问题，其中孪生质数猜想、哥德巴赫猜想（Goldbach’s conjecture）和黎曼猜想（Riemann hypothesis）被打包作为第八个问题，统称为关于质数分布的问题。

希尔伯特

从1900年到现在，119年过去了，这三个猜想仍然没有解决。不过在孪生质数猜想方面，我们取得了重大的进展。这个进展就来自张益唐。

2013年，他证明了：存在无穷多对质数，它们的间隔小于7千万。

这意味着什么呢？

在此之前，我们不但无法证明有无穷多对只相差2的质数，而且把这里的2替换成任何一个有限数值，我们也无法证明。也就是说，我们不能排除这种可能：任给一个自然数N，间隔小于N的质数对都只有有限个。而现在，我们就可以排除这种可能了。

所以，张益唐把对质数间隔的估计，从无限一下子拉到了7千万！如果拉到2，就是证明了孪生质数猜想。虽然我们还没有做到这一点，但很容易理解，从无限到有限是质的区别，而从7千万到2只是量的区别。因此，张益唐的定理是人类在孪生质数猜想上第一个真正重大的突破。

张益唐的人生，跟他的成果一样富有戏剧性。他是我所知的大器晚成的最惊人的例子。

1955年，张益唐出生于上海。他的父亲是中国最早研究移动通信的专家之一，母亲在邮电部工作。张益唐从小就对数学显露出超常的兴趣和天赋，但由于时代的捉弄，不能上大学，只能在北京制锁厂当工人。

恢复高考后，1978年，23岁的张益唐考上了北京大学数学系。虽然年龄偏大，但是金子总会发光的。张益唐的数学才能，在同学中大放异彩。

我的前辈朋友、著名作家王小东，跟张益唐就是北大数学系的同班同学，而且是铁哥们。王小东告诉我，他原本对自己的数学天赋很有自信，见到张益唐之后就明白了，纯数学还是让张益唐这样的人去搞吧。他们系还有人后来成为了成功的企业家，他也感谢张益唐。感谢什么呢？感谢让他早早打消了作数学家的想法，找到了适合自己的道路。

1982年，张益唐本科毕业后，跟随著名数学家潘承彪读硕士。1985年，在北京大学校长、著名数学家丁石孙的推荐下，到美国普渡大学读博士，导师是来自台湾的莫宗坚。这一段经历看起来一帆风顺，但出人意料的转折马上来到。

潘承洞和潘承彪（右）兄弟，展涛摄于1995年

丁石孙

1991年，张益唐博士毕业。他的博士工作研究了一个著名的猜想，叫做“雅可比猜想”（Jacobian conjecture）。但他的证明以导师莫宗坚的一个结果为基础，而在审稿时发现莫宗坚的那个结果有问题，所以他的证明也就不成立了。

莫宗坚

这倒也罢了，论文出错也是常有的事。真正令人吐血的是，莫宗坚觉得张益唐让自己在学术界丢了脸，于是不给他写推荐信。喂喂喂，这是什么逻辑？是你犯了错误，为什么迁怒于学生？

没有导师的推荐信，张益唐就无法在学术界找到工作。不要说正式职位，连博士后都找不到。毕业即失业，真是太惨了。

在这段岁月里，张益唐送过外卖，卖过炸鸡，还在汉堡店当过会计，作过收银员。有时他没地方住，只能在车里过夜。

但惊人的是，他在这种吃土的情况下都没有放弃数学。有空的时候，他就去附近的图书馆读代数几何和数论方面的期刊文章。

有一位北大化学系的校友开了几家赛百味的连锁店，很想资助张益唐，但又怕被拒绝。于是他想了一个点子，每个季度请张益唐来帮忙给连锁店报税，让张益唐比较轻松地得到报酬，同时有比较多的时间去研究数学。

当时IT产业正在蓬勃发展，所以张益唐如果想赚钱，应该很容易。我的许多化学专业的同学朋友都转行去搞IT了，数学专业的就更不在话下。

1999年初，张益唐一位在英特尔工作的北大数学系师弟唐朴祁在纽约找到他，请他帮忙解决一个网络设计中技巧性很强的数学问题。张益唐花了一个星期就解决了，他俩一块申请了一项专利。但此后，张益唐就再也没有做过IT，还是潜心做数学。

唐朴祁（左）与张益唐

唐朴祁希望帮助张益唐重返学术界。张益唐有一位北大数学系师弟葛力明，在新罕布什尔大学担任教授。唐朴祁找到葛力明，然后葛力明向系主任推荐张益唐来讲微积分。系主任请张益唐来面试，这时唐朴祁和葛力明发现找不到张益唐，不知道他又到哪里打工去了。

葛力明

经过一番周折，葛力明在美国南方的一个赛百味快餐店联系上了张益唐。两三天后，张益唐就开车来到了东北部的新罕布什尔大学，他把自己的全部家当都在车上带来了。

就这样，44岁的张益唐开始在新罕布什尔大学担任临时讲师。这是博士毕业之后，张益唐第一次接近学术工作——尽管只是每学期上4门课，按日结薪，收入比教授低得多，没有研究经费。但这些都不重要，至少那里有办公室，甚至有纸和笔就足矣。

2001年，张益唐在《杜克数学期刊》（Duke Mathematical Journal）上发表了一篇论文，研究的是黎曼猜想，它是数学中最著名、最困难、最重要的未解之谜之一。原来这些年里，无论在送外卖还是在打地铺，张益唐一直在思考这个大问题。

系主任阿佩尔（Kenneth Ira Appel，1932 - 2013）想以这篇文章提拔张益唐为固定职位。顺便说一句，阿佩尔是一位世界著名的数学家，他证明了四色定理。但他这个提议被其他人否定了，理由是：张益唐发的文章太少。

阿佩尔和一幅表现四色定理的地图（https://www.telegraph.co.uk/news/obituaries/10158040/Kenneth-Appel.html）

事实上，到现在为止，张益唐总共只发过三篇论文。第一篇是1985年出国前在《数学学报》发的，第二篇是2001年在《杜克数学期刊》发的，这两篇研究的都是黎曼猜想。第三篇就是孪生质数猜想的突破。你看，他从来都没有研究过小问题！

爱因斯坦有一句名言：“我不能忍受这样的科学家，他们在一块木板上找到最薄的地方，然后在那里钻很多洞。”话虽如此，但绝大多数科学家为了职位和生计，还是难免做些妥协。

例如证明费马大定理的英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles），在1986年全力以赴投入这场冒险之前，就事先准备好了一些论文，每隔一段时间发一篇，以免学校因为他长期不发论文把他开掉。直到1993年他公开了费马大定理的证明，大家才知道原来他在攻这个大问题。

怀尔斯和费马大定理

但张益唐就更加决绝，他从来没有做过任何妥协。即使在数学家当中，他对大问题的专注也是令人叹为观止的。

2005年，张益唐50岁时，终于从临时讲师成为正式讲师，因为他的微积分讲得很好。按照正常的轨迹，他似乎会在这个位置上平稳地退休。

英国数学大师哈代（Godfrey Harold Hardy，1877 - 1947）有一句名言：“比起其他任何艺术和科学，数学更是年轻人的游戏。”这是大家公认的，例如数学界的最高奖之一菲尔兹奖，就只颁发给40岁以下的数学家。哈代还有一句名言：“我从没见过哪个年过半百的数学家开创重大的数学进展。”

哈代

但显然，这是因为他没有见到张益唐。

2008年，一群世界顶尖的数论专家在美国国家数学科学研究所开了一个会，研讨如何攻克一个重要问题：质数的最小间隔是否有限。美国数学家Daniel Goldston、匈牙利数学家János Pintz和土耳其数学家Cem Yildirim等人在这个问题上已经钻研多年，看起来只差最后一步了。

但讨论了一周之后，会议以失败告终，这最后一步始终跨不过去。Goldston绝望地认为，自己在有生之年都不会得到答案了。

不过，张益唐并不知道这个会议。2010年，他在浏览这些数学家的工作时发现，离得出最终结论似乎只剩一根头发丝的距离了。这个问题他已断断续续想了多年。他后来对媒体说：“我有一种直觉，我没法去论证这种直觉。但直觉告诉我，我应该可以做出来。”于是他暂停了其他研究，把所有的精力投入到这个问题中。

2012年7月3日，一个阳光明媚的下午，张益唐在他的朋友、迈阿密大学音乐教授齐雅格的家里访问。在等待出发去看齐雅格指挥的音乐会时，张益唐到他家的后院，想看看那里不时出没的梅花鹿。鹿没有看到，张益唐却突然看到了灵感。各种线索结合在一起，指出了一条跨越头发丝距离的道路。

2013年4月17日，张益唐把论文提交给最著名的数学杂志《数学年刊》（Annuals of Mathematics）。那位欣赏他的系主任阿佩尔在两天后去世，值得欣慰的是他已经知道了张益唐的成果。这篇论文的标题十分简洁，叫做《质数间的有界距离》（Bounded gaps between primes）。摘要也十分简洁，我翻译如下：

“本文证明了

其中pn是第n个质数。

我们的方法是对Goldston、Pintz和Yildirim最近关于相邻质数间小间隔的工作的改进。这个证明的一个主要成分是Bombieri-Vinogradov定理的一个更强版本，它只在模不包括大的质因子时适用（参见下面的定理2），不过对我们的目的足够了。”

《质数间的有界距离》摘要

这时，张益唐已经58岁了，依然默默无闻。我从来没见过科学家在这么大的年龄成名的，更不用说数学家了。但从这时开始，与他相关的节奏骤然加快。

审稿人之一伊万尼克（Henryk Iwaniec）最初拿到这篇论文时，看了一眼就扔到一边，认为不可能是对的。然后，他又把论文拿出来，看了引言部分，觉得不像是在胡说八道。

伊万尼克

接着的一个星期，伊万尼克不断地给主编发邮件。第一次说，这文章有很好的想法。第二次说，这文章有非常非常好的想法。第三次说，这文章有非常非常非常好的想法。第四次说，这文章有可能是对的。再后来说，这文章很可能是对的。

第二个星期，伊万尼克把自己关了起来，按照张益唐的方法重新证明了一遍，觉得应该是对的。第三个星期，他开始给论文逐字逐句地挑毛病，但最后的结论是：我彻底地研究了这篇文章，我发现，挑出一个最小的差错也非常困难。

《数学年刊》的审稿周期一般都很长，动辄以年计。但这篇文章3个星期就接收了，创造了《数学年刊》创刊130年来接收论文最快的纪录！

质数的最小间隔有上限，而人的奋斗没有上限。正如《三国演义》中，诸葛亮给周瑜写的祭文中的一句话：

“始不垂翅，终能奋翼！”

张益唐在知道文章被接收后，告诉他太太留心最近的媒体报道，“你可能会在上面看到我的名字”。他太太回复说：“你是不是喝醉了？”然后，她果然看到了张益唐的名字。

2013年5月14日，《自然》杂志在“突破性新闻”栏目里，宣布一个重要的数学猜想被敲开了大门。5月20日，《纽约时报》大篇幅报道了张益唐，引起了世界轰动。

各种荣誉和职位蜂拥而来。除了菲尔兹奖因为年龄限制他拿不到，其他能拿的奖几乎拿了个遍。他在新罕布什尔大学直接升级为正教授，2016年又转到了加州大学圣塔芭芭拉分校（University ofCalifornia, Santa Barbara，简称UCSB）。

然而张益唐还是那个张益唐。

成名前，他经常给新罕布什尔大学数学系的饮水机换水，所以秘书老太太对他的印象不错。他成名后，老太太问葛力明，张益唐还会继续给系里换水吗？葛力明说会的。葛力明果然很了解张益唐。事实上，直到转去UCSB的前两天，他还给系里换了水。

转到UCSB三年来，他似乎连学校的启动经费都没有申请完，因为他只需要纸和笔，没地方花钱。他的研究风格也依然如故，只关注大问题，对小问题不屑一顾。

其实，7千万只是一个粗略的估计。张益唐并没有挖掘出他的方法的全部潜力，因为最重要的是存在这样一个有限的数，而不是这个数的大小。一旦知道存在上限，人们就会寻找各种各样的办法来改进这个估计。著名的华人数学家、菲尔兹奖获得者陶哲轩倡议建立了一个群策群力的项目“PolyMath8”，就是让大家来做这件事。

陶哲轩

在张益唐的论文发表两个星期后的2013年5月28日，这个数就下降到了6000万。5月31日，下降到了4200万。6月2日，1300万。6月3日，500万。6月5日，40万。到2014年2月，这个数被降低到了246，现在暂时定格在这上面。

PolyMath8项目的当前纪录（http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes）

以目前的方法，这大概就是极限了。再往下，应该还需要新的思想。所以对于孪生质数猜想，我们现在的最佳结果就是：存在无穷多对质数，它们的间隔不超过246。

但张益唐完全没有参与这方面的工作。在做出7千万的突破后，他就从这个领域离开了。显然，这种改进性质的工作在他看来品位和吸引力不够高。菲尔兹奖获得者乐于干的工作，他都看不上！

张益唐在干什么呢？他又回到了自己绝大部分时间都在思考的大问题：黎曼猜想。其实孪生质数猜想对他来说只是一个插曲，他真正最关心的还是黎曼猜想。具体地说，他在研究与广义黎曼猜想（generalized Riemann hypothesis）有关的朗道-西格尔零点猜想（Landau-Siegel Zeros conjecture）。

这个问题的重要性何在呢？

张益唐说：“对于数论学家来讲，有两个宇宙。在第一个宇宙里，不存在朗道-西格尔零点。但在第二个宇宙里，存在此零点。我们的困惑是，不知道我们到底生活在哪个宇宙里面。”

他的同事、数论学家Stopple解释说，如果张益唐能证明朗道-西格尔零点猜想，“就像是同一个人被闪电劈中两次”，“如果他从未成名，那么做出这项工作也会让他跟上次一样被世界瞩目”。

张益唐对自己能解决朗道-西格尔零点猜想充满信心，认为没有大的障碍，剩下的都只是技术性问题。有人问他如何看待哈代对数学家年龄的观点，他的回答是：

“这个说法可能对我并不适用。我仍然相信我的直觉，我仍然对自己有信心。我仍然有不少愿景。”

这让我想起今年以97岁高龄获得诺贝尔化学奖的John B. Goodenough。这位老爷子每次接受采访的时候，都说自己还想实现某个科学目标，“我才90几岁，我还有时间！”然后哈哈大笑。

诺贝尔奖网站上Goodenough的图片（https://www.nobelprize.org/prizes/chemistry/2019/goodenough/facts/）

在历史上，有很多科学家终生投身于大问题，但一无所获。例如匈牙利数学家F. 鲍耶（Farkas Bolyai，1775- 1856），他一生都在尝试证明欧几里得几何的第五公设，没有成功。不过他的儿子J. 鲍耶（János Bolyai，1802 - 1860）从中受到了启发，干脆推翻这条公理，开创了非欧几何。能在历史上留下名字的人都是幸运的，更多这样的勇士我们不知道姓名，但无论如何，他们的精神值得崇敬。

J. 鲍耶

张益唐不但给我们留下了一个“始不垂翅，终能奋翼”的传奇，而且他的宠辱不惊也耐人寻味。无论是穷到吃土，还是接受校友师弟的帮助，他都坦然处之。而无论是盛名还是大奖，也没有改变他的谦和淡泊。各界人士对他的热情帮助，以及他成名后对社会的热情反馈，都充满了人性的光辉。正如《论语》里孔子称赞颜回的名言：

“贤哉，回也！一箪食，一瓢饮，在陋巷，人不堪其忧，回也不改其乐。贤哉，回也！”

附录：对质数无穷多的证明

质数有无穷多个，这是《几何原本》第九篇的第20个命题。为什么是这样呢？欧几里得用反证法给出了一个经典的证明：

假如质数的个数是有限的，那么把这个个数记为n，把所有的n个质数记为p1、p­2等等，直到pn。

现在考虑一个数q，它等于p1乘以p­2等等，一直乘到pn，最后再加上1。请问，q是不是质数？

如果q是质数，那么它就是一个新的质数。这就跟前提的假设“质数只有n个”矛盾。

而如果q不是质数，那么它可以分解质因数。但它的质因数显然不是p1到pn中的任何一个，所以我们还是获得了新的质数，仍然跟前提的假设“质数只有n个”矛盾。

由此可见，前提的假设是错误的。质数不可能只有有限个，也就是说有无限个。证毕。

你看，这是多么精妙的思想！任何能够理解的人，都会被这种思维的魅力深深吸引，体会到一种不可代替的美感。

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作者简介：本文作者袁岚峰，中国科学技术大学化学博士，中国科学技术大学合肥微尺度物质科学国家研究中心副研究员，科技与战略风云学会会长，青年科学家社会责任联盟理事，中国无神论学会理事，安徽省科学技术协会常务委员，微博@中科大胡不归，知乎@袁岚峰（https://www.zhihu.com/people/yuan-lan-feng-8）。

责任编辑：孙远

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