如图abc在直角坐标系中求面积(PQR分别是)

在平面几何中有一类求线段和最小值问题,这类问题源自古罗马时代“将军饮马”问题。

传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦(已知三角形三边a,b,c,求面积S可用公式S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]计算,其中p表示三角形的半周长,即p=(a b c)/2.这个公式就是海伦发现的),一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题:

将军每天从军营A出发,先到河边饮马,然后再去河岸同侧的B地开会,应该怎样走才能使路程最短?

从此,这个问题被称为“将军饮马”问题,在世界各地广泛流传.

如图abc在直角坐标系中求面积(PQR分别是)(1)

“将军饮马”问题,我国唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河 ”与“将军饮马”情景何其相似,诗中说的是一位将军白天骑马去山上点A处巡查烽火台,黄昏时牵马到河边饮水,然后回到与河同岸的营地B宿营。如果诗中再提出这个将军该走哪条路线使路程最短,那么这个就跟“将军饮马”问题完全相同了。

这个问题的解决并不难,据说当时海伦略加思索就解决了它.

事实上,这个问题转化为数学问题就是这样一个求线段河最小值的问题:

如图1,已知直线l的同侧有A、B两点,在直线l上求作一个点P,使PA PB最小。

如图abc在直角坐标系中求面积(PQR分别是)(2)

把P视为直线l上的动点,则问题就变成了确定动点P的位置,使得PA PB最小。

母庸质疑,海伦解决的方法和我们今天解决的方法是一样滴,利用轴对称变换将A、B两点中的一个点变换到直线l的另一侧,比如作点A关于直线l的对称点C(这里要明白为什么要作轴对称?原因很简单,因为这样做虽然点A的位置变了,但能保证点P到A的新位置C的距离PC与原来P到A的距离PA不变,即PC=PA),此时问题变为要使PA PB最小,只需要PC PB最小即可。

由于不论点P在何位置,根据“两点之间,线段最短”可知总有PC PB≥BC,当点P与B、C共线时,等号成立,PC PB最小=BC。因此,连接BC,则BC与直线l的交点就是做求作的点P的位置。

“将军饮马”问题实际上是“两点一线一动点,动定之和路最短”模型,求解模式是“定点变换另一边,两点连线定动点”。

“将军饮马”问题传开后,以“将军饮马”为原型的几何问题可谓是如雨后春笋,层出不穷,各种各样的变式题、创新题铺天盖地,从一个动点到两个三个动点的问题比比皆是;从两条线段和的最小值到三条、四条线段和的最小值应有尽有。下面分别介绍之。

(一)一个动点

例1 如图2,△ABC中,∠BAC=30°,D是AB的中点,P是AC上的动点,当PB PD最小时,求∠PBA的度数。

如图abc在直角坐标系中求面积(PQR分别是)(3)

分析:对照“将军饮马”,这里的两点是B和D,直线是AC,动点是P。欲求当PB PD最小时∠PBA的度数,先确定点P的位置。

根据“将军饮马”的求解思路方法,作点B关于AC的对称点E,连接PE,则PB=PE,所以PB PD=PE PD≥DE,所以PB PD的最小值为DE,此时点P为DE与AC的交点,所以连接DE交AC于P。

连接AE,则∠EAC=∠BAC=30°,所以∠BAE=60°,

又因为AB=AE,所以△ABE是等边三角形,

因为D是AB的中点,所以ED垂直平分AB,

所以PB=PA,所以∠PBA=∠PAB=30°。

(二)两个动点

例2 如图3,正△ABC的边长为4,P、Q分别是AB、BC上的动点,D是AC的中点,求△DPQ周长的最小值。

如图abc在直角坐标系中求面积(PQR分别是)(4)

分析:因为P、Q是动点,D是定点,所以分别作点D关于AB、BC的轴对称点E、F,连接PE、QF,EF。则

PD=PE,QD=QF,

所以△PQD的周长=PD QD PQ

=PE QF PQ≥EF,

所以△DPQ周长最小值为EF的长,此时,点P为EF与AB的交点,点Q为EF与BC的交点。

在△DEF中,由已知易得

DE=DF=2√3,∠EDF=120°,

作EF上的高DG,则易得EF=6,

所以△DPQ周长最小值为6.

(三)三个动点

例3 如图4,△ABC中,AB=7,AC=4√2,∠BAC=45°,P、Q、R分别是AB、BC、AC边上的动点,则△PQR周长的最小值为______。

如图abc在直角坐标系中求面积(PQR分别是)(5)

分析:将△PQR三边中的两边进行变换,使三边构成一条不封闭的折线,以便运用“两点之间,线段最短”确定动点的位置。因为PR是特殊角∠BAC之间的线段,所以保持PR不变,将RQ和PQ分别进行轴对称变换。

分别作点Q关于AB、AC的对称点D、E,连接DA、DP、DQ,EA、ER、EQ,DE,AQ。则

PQ=PD,RQ=RE,AD=AQ=AE,∠DAB=∠BAQ,∠EAC=∠CAQ,

所以△PQR的周长=PQ RQ PR

=PD RE PR≥DE,

所以△PQR周长最小值为DE的最小值。

因为∠BAC=45°,

所以∠DAE=90°,

所以△ADE是等腰直角三角形,

所以DE=√2AD=√2AQ,

所以当AQ最小时,DE最小。

因为Q是BC上的动点,

所以当AQ⊥BC时,AQ最短。

作CG⊥AB于G。则

AG=CG=AC·sin∠BAC

=4√2·sin45°=4,

所以BG=7-4=3,△ABC的面积为1/2·7·4=14,

所以BC=5,

所以1/2·5·AQ=14,

所以AQ最小值为28/5,

所以DE最小值为√2·28/5=28√2/5.

所以△PQR周长最小值为28√2/5.

(四)四个动点

例4 如图5,矩形ABCD中,AB=4,AD=6,P是BC上的动点,E、F分别是AD,CD上动点,Q是EF的中点,则AP PQ QF的最小值是_______。

如图abc在直角坐标系中求面积(PQR分别是)(6)

分析:首先注意到点Q是EF的中点,而∠EDF=90°,所以QF=QD。

作点A关于BC的对称点G,连接PG,连接DG。则PA=PG,AG=8,

所以AP PQ QF=GP PQ QD≥GD。

由已知,及勾股定理,易得DG=10,

所以AP PQ QF的最小值是10.

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