如图abc在直角坐标系中求面积（PQR分别是）

在平面几何中有一类求线段和最小值问题，这类问题源自古罗马时代“将军饮马”问题。

传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦(已知三角形三边a，b，c，求面积S可用公式S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]计算，其中p表示三角形的半周长，即p=(a b c)/2．这个公式就是海伦发现的)，一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？

从此，这个问题被称为“将军饮马”问题，在世界各地广泛流传．

“将军饮马”问题，我国唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河 ”与“将军饮马”情景何其相似，诗中说的是一位将军白天骑马去山上点A处巡查烽火台，黄昏时牵马到河边饮水，然后回到与河同岸的营地B宿营。如果诗中再提出这个将军该走哪条路线使路程最短，那么这个就跟“将军饮马”问题完全相同了。

这个问题的解决并不难，据说当时海伦略加思索就解决了它．

事实上，这个问题转化为数学问题就是这样一个求线段河最小值的问题：

如图1，已知直线l的同侧有A、B两点，在直线l上求作一个点P，使PA PB最小。

把P视为直线l上的动点，则问题就变成了确定动点P的位置，使得PA PB最小。

母庸质疑，海伦解决的方法和我们今天解决的方法是一样滴，利用轴对称变换将A、B两点中的一个点变换到直线l的另一侧，比如作点A关于直线l的对称点C（这里要明白为什么要作轴对称？原因很简单，因为这样做虽然点A的位置变了，但能保证点P到A的新位置C的距离PC与原来P到A的距离PA不变，即PC=PA），此时问题变为要使PA PB最小，只需要PC PB最小即可。

由于不论点P在何位置，根据“两点之间，线段最短”可知总有PC PB≥BC，当点P与B、C共线时，等号成立，PC PB最小=BC。因此，连接BC，则BC与直线l的交点就是做求作的点P的位置。

“将军饮马”问题实际上是“两点一线一动点，动定之和路最短”模型，求解模式是“定点变换另一边，两点连线定动点”。

“将军饮马”问题传开后，以“将军饮马”为原型的几何问题可谓是如雨后春笋，层出不穷，各种各样的变式题、创新题铺天盖地，从一个动点到两个三个动点的问题比比皆是；从两条线段和的最小值到三条、四条线段和的最小值应有尽有。下面分别介绍之。

（一）一个动点

例1 如图2，△ABC中，∠BAC=30°，D是AB的中点，P是AC上的动点，当PB PD最小时，求∠PBA的度数。

分析：对照“将军饮马”，这里的两点是B和D，直线是AC，动点是P。欲求当PB PD最小时∠PBA的度数，先确定点P的位置。

根据“将军饮马”的求解思路方法，作点B关于AC的对称点E，连接PE，则PB=PE，所以PB PD=PE PD≥DE，所以PB PD的最小值为DE，此时点P为DE与AC的交点，所以连接DE交AC于P。

连接AE，则∠EAC=∠BAC=30°，所以∠BAE=60°，

又因为AB=AE，所以△ABE是等边三角形，

因为D是AB的中点，所以ED垂直平分AB，

所以PB=PA，所以∠PBA=∠PAB=30°。

（二）两个动点

例2 如图3，正△ABC的边长为4，P、Q分别是AB、BC上的动点，D是AC的中点，求△DPQ周长的最小值。

分析：因为P、Q是动点，D是定点，所以分别作点D关于AB、BC的轴对称点E、F，连接PE、QF，EF。则

PD=PE，QD=QF，

所以△PQD的周长=PD QD PQ

=PE QF PQ≥EF，

所以△DPQ周长最小值为EF的长，此时，点P为EF与AB的交点，点Q为EF与BC的交点。

在△DEF中，由已知易得

DE=DF=2√3，∠EDF=120°，

作EF上的高DG，则易得EF=6，

所以△DPQ周长最小值为6.

（三）三个动点

例3 如图4，△ABC中，AB=7，AC=4√2，∠BAC=45°，P、Q、R分别是AB、BC、AC边上的动点，则△PQR周长的最小值为______。

分析：将△PQR三边中的两边进行变换，使三边构成一条不封闭的折线，以便运用“两点之间，线段最短”确定动点的位置。因为PR是特殊角∠BAC之间的线段，所以保持PR不变，将RQ和PQ分别进行轴对称变换。

分别作点Q关于AB、AC的对称点D、E，连接DA、DP、DQ，EA、ER、EQ，DE，AQ。则

PQ=PD，RQ=RE，AD=AQ=AE，∠DAB=∠BAQ，∠EAC=∠CAQ，

所以△PQR的周长=PQ RQ PR

=PD RE PR≥DE，

所以△PQR周长最小值为DE的最小值。

因为∠BAC=45°，

所以∠DAE=90°，

所以△ADE是等腰直角三角形，

所以DE=√2AD=√2AQ，

所以当AQ最小时，DE最小。

因为Q是BC上的动点，

所以当AQ⊥BC时，AQ最短。

作CG⊥AB于G。则

AG=CG=AC·sin∠BAC

=4√2·sin45°=4，

所以BG=7-4=3，△ABC的面积为1/2·7·4=14，

所以BC=5，

所以1/2·5·AQ=14，

所以AQ最小值为28/5，

所以DE最小值为√2·28/5=28√2/5.

所以△PQR周长最小值为28√2/5.

（四）四个动点

例4 如图5，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，P是BC上的动点，E、F分别是AD，CD上动点，Q是EF的中点，则AP PQ QF的最小值是_______。

分析：首先注意到点Q是EF的中点，而∠EDF=90°，所以QF=QD。

作点A关于BC的对称点G，连接PG，连接DG。则PA=PG，AG=8，

所以AP PQ QF=GP PQ QD≥GD。

由已知,及勾股定理，易得DG=10，

所以AP PQ QF的最小值是10.

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