概率统计第四版第一章思维导图（统计与概率思维导图2）

1．离散型随机变量的分布列

(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．

(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表

X	x1	x2	…	xi	…	xn
P	p1	p2	…	pi	…	pn

为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质：

①pi≥0，i＝1,2，…，n；

②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.

离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．

2．两点分布

如果随机变量X的分布列为

X	0	1
P	1－p	p

其中0<p<1，则称离散型随机变量X服从两点分布．其中p＝P(X＝1)称为成功概率．

3．超几何分布

一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么

P(X＝k)＝N(n)(k＝0,1,2，…，m)．即

X	0	1	…	m
P	N(n)	N(n)	…	N(n)

其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.

如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．

1．条件概率及其性质

(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝P(A)(P(AB))(P(A)>0)．

在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝n(A)(n(AB)).

(2)条件概率具有的性质

①0≤P(B|A)≤1；

②如果B和C是两个互斥事件，

则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．

2．相互独立事件

(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件．

(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．

P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．

(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．

(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．

3．独立重复试验与二项分布

(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数．设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cn(k)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．

1．均值

一般地，若离散型随机变量X的分布列为：

X	x1	x2	…	xi	…	xn
P	p1	p2	…	pi	…	pn

则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.

(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态.

(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加.

2．方差

设离散型随机变量X的分布列为：

X	x1	x2	…	xi	…	xn
P	p1	p2	…	pi	…	pn

则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝ (n)(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．

(1)随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.D(X)越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近.

(2)方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负.

3．两个特殊分布的期望与方差

分布	期望	方差
两点分布	E(X)＝p	D(X)＝p(1－p)
二项分布	E(X)＝np	D(X)＝np(1－p)

4．正态分布

(1)正态曲线的特点

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

③曲线在x＝μ处达到峰值2π(1)；

④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

(2)正态分布的三个常用数据

①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6；

②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4；

③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4.

[常用结论]

若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则

(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数；

(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；

(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；

(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2；

(5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)；

(6)若X～N(μ，σ2)，则X的均值与方差分别为：E(X)＝μ，D(X)＝σ2.

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