相对论时间间隔变换公式（如何用最简单的方法得出相对论时间膨胀公式）

爱因斯坦的相对论是当今世界最著名的理论，它与量子力学组成了物理学的两大支柱。相对论打破了牛顿的绝对时空概念，将时间也视为一个重要的维度。在狭义相对论中有时间膨胀效应，在广义相对论中也有引力时间延缓。不过，很多人深陷在其复杂的数学演算中，无法感受到其中的美妙。在本文中，我们将用最简单的方式来推导这两个公式。

狭义相对论有两个重要的假设：相对性原理和光速不变原理，我们将从这些原理出发，设计一个思想实验，来推导时间膨胀公式。

想象有一列以速度v匀速向右行驶的火车，在其车厢地板的某个位置装有激光发射器和接收器，而正对着的火车天花板上装有一面反射镜。发射器会向上发射激光，然后被天花板上的镜子反射回接收器。

在火车上的人们，看到激光是直上直下的，他们算得整个过程所花费的时间是Δτ=2d/c。但是，在火车之下的地面观察者，由于火车的运动，他们看到的光线呈锯齿状，斜向上发射而后斜向下反射。假设地面观察者测得的时间间隔为Δt，根据光速不变原理和勾股定理，我们可以得到如下公式：

通过求解上式，我们就可以得到时间膨胀公式：

广义相对论也有两个重要的基础：广义相对性原理和等效原理，其中等效原理在我们下面的推导中非常重要。简单来说，等效原理表明，均匀引力场中的静止参考系与具有适当加速度的加速运动参考系等价。最著名的例子就是电梯思想实验，以加速度g上升的电梯，里面的人是分不清自己静止在地球表面还是在太空中加速。

利用这个原理，我们又可以设计一个思想实验，其中涉及到深受欢迎的旋转木马。旋转木马以角速度ω转动，我们在其中心和在距离中心r处的木马各放一个时钟。相比于中心处的时钟，木马处的时钟以v=ωr运动，我们可以利用狭义相对论中的时间膨胀公式来计算二者的关系。

因为木马处的时钟还受到了一个惯性离心力mω²r，根据等效原理，我们可以把它看成是一个与之等效的引力场。我们把中心点的引力势能设为零，则木马处的势能为：

而我们知道真正的引力势能表达式：

因此我们可以得到v²=2GM/r，把它代入到狭义相对论时间膨胀公式得到：

这就是引力时间膨胀公式。

这两个公式的最常被提起的应用就是卫星导航了。每个导航卫星的速度大约为1.4万公里/时，根据狭义相对论的计算，卫星上的原子钟比地球上的要慢7微秒。而卫星处于大约二万公里的高度，所受的重力较小，根据广义相对论会快45微秒。虽然这些时间相差很小，但是乘上巨大的光速数值，如果没有进行相对论修正，导航将相差十万八千里。