简谐振动的动力学方程怎么解（简谐振动的运动学方程是怎么来的）

（吐槽一下：头条能不能提供一个公式编辑的方法呀？遇到公式时写数理文章太难受啦！）

简谐振动是最简单最基本的振动，它的典型例子是弹簧振子。

水平弹簧振子

什么是弹簧振子呢？一个不考虑质量的弹簧连接一个有质量的小球或物块，然后把它沿着弹簧的方向压缩或者拉伸一定的距离（不要拉得太狠，悠着点儿）后松手，那么物块就会只在弹簧弹力的作用下，周期性地往复振动。弹簧振子是一个理想物理模型。振子速度最大的位置回复力为零，此处称之为平衡位置。

在高中我们就知道，弹簧振子的运动学方程可以表达为如下正弦或余弦函数形式：

它们都表述了振子偏离平衡位置的位移随时间变化的关系。由中学数学可知这两个函数是等价的。那么这个振动方程到底是怎么推导出来的呢？

它们都表述了振子偏离平衡位置的位移随时间变化的关系。由中学数学可知这两个函数是等价的。那么这个振动方程到底是怎么推导出来的呢？

我的书架上有四本书对这个振动方程有所描述，分别是漆安慎版《力学》、人教社的高中物理教材、《费曼物理学讲义》、赵凯华版《新概念物理教程·力学》，外加知乎@烤羚羊的思路。他们面对同一件事虽然思路迥异，却又殊途同归，真真是各有各的特点，各有各的巧妙。我们一起来看看吧^_^

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方式一 “易得”型

这种方式的典型代表是漆老的《力学》，在书中，振动方程来自于直接写出微分方程的解，画风是下面这这样的：

图片摘自漆安慎版《力学》

为什么可以写成这样呢？当时的我左思右想也没搞明白这个余弦函数是怎么来的。漆老可能觉得读者基本都是大学生了，这等小菜，自己可以推出来。看来我和漆老对大学生的基本要求隔了一个地球周长。所以当时我只是把它当成基本结论去记的。现在，这种处理方式着实不能满足我对科学的渴望，必须深究下去。

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方式二 科学探究型

这种方式的典型代表是现行高中物理人教版教材。从国家到地方都在大力开展新课程改革，要求在物理教学中要重视学生的物理探究过程，多多体验一下科学家们发现问题、提出猜想、设计实验、得出结论、讨论验证等的科学研究过程。所以人教版高中物理教材是按如下方式得出振动方程的。

首先，观察弹簧振子的频闪照片。

让弹簧振子先振动起来，然后让频闪仪对着弹簧振子每隔 0.05s闪光一次，闪光的瞬间振子就会被照亮，从而得到闪光时小球的位置，相邻两个位置之间的时间相隔为0.05 s。拍摄时让底片从左向右匀速运动，因此在底片上留下了小球和弹簧的一系列的像。

弹簧振子的频闪照片

弹簧振子的频闪照片

或者，在桌面上放一个弹簧振子（附一支描线笔），下面放上一条长长的宽纸带，然后在弹簧振子振动的同时在一侧把纸带匀速卷起来，这样就得到一条和频闪照片类似的图像。

模拟振动图像

模拟振动图像

然后，猜想图像的函数并验证。书上引导读者猜想这是正弦函数。然后根据振幅和周期写出正弦函数表达式，再从实验中得到的图像中选择几个点，得到不同时间所得到的位置值，把这个位置值和表达式中对应时间的函数值做个比较。如果符合得很好，说明振动图像就是对应正弦函数。

接着，书上就直接给出了振动方程，如下图所示。

人教版高中教材的这个方法简单直观，规避了严谨的数学推理。其中，把时间作为一个数轴，位移作为另一个数轴，从一维振动中拉一个二维图像的方法是很奇妙的一个思路。

然而，弹簧振子的一维振动，怎么就跟三角函数扯上了关系呢？ 弹簧振子难道就有没有什么内在的、固有性质使得它必然与三角函数有关系吗？

答案显示不是。一定是弹簧振子的某些固有属性使得它与三角函数有关系。那么我们首先就得找找，弹簧振子到底有哪些固有的属性和规律呢。

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弹簧振子的常微分方程

（如果你是中学生，当你看到常微分方程这五个字时也许会比较纳闷，先不管它，我们来一步步把它给逼出来）

弹簧振子的固有属性

弹簧振子有哪些固有属性会影响到它的振动呢？

首先想到的性质一定有物块的质量m，我们可以想想，在弹簧的拉伸长度一定的前提下，如果物块越重，振子就应该越“懒”，运动状态就越难得改变，也就是振动得越慢。所以质量可能会在振动方程中体现出来。

接着，我们还应该想到弹簧的劲度系数k 也会影响到振动的快慢。如果弹簧越是“硬邦邦”，在弹簧被拉长相同的长度时所具有的拉力就越大，物块受到更大的拉力就应该会更快地回到平衡位置。所以劲度系数也可能会在振动方程中体现出来。

有了质量和劲度系数k，这只是我们寻找振动方程的一小步，还需要从弹簧振子必须满足的内在规律上找。

振子的牛顿第二定律

最先想到的应该是牛顿运动定律。

读高中时书上就讲，牛顿牛爵爷把力和运动通过牛顿第二定律结合起来，小到灰尘，大到天体都可以用，可以说是相当的厉害。弹簧振子自然也不例外。也就是说，弹簧振子一定满足F=ma ，其中，F 就是弹簧受到的弹力，a是振子的加速度。

但是，这和我们寻找的振动方程有什么关系呢？牛二定律里面并没有出现时间、也没有出现位移呀。其实，这里需要一丢丢的微积分知识，利用微积分，加速度可以表达为位置矢量的二阶导数。即可以把牛顿第二定律表达为如下形式：

如果你没有微积分方面的数学储备，推荐你参阅长尾科技的文章你也能懂的微积分。

这样一操作，x和 t 就立马出现了，似乎答案以经找到了。仔细一想，其实还没有。你想想看，在振子振动的过程中，弹力总是保持不变的吗？显然不是。换句话说，弹力F 也会随着时间，或者说随着位移发生变化。如果力F不随位移变化还好，我们直接积分就可以得到位移和时间的关系了。可是现在F 并不单纯，它里面还藏着x 或t 没有露出来，要想直接积分就比较麻烦。

胡克定律

下一步，我们自然要再去找找F 与x 之间的关系。想必你已经知道了，就是牛顿的死对头胡克发现的胡克定律。胡克定律表达为如下形式：

胡克定律中有两点需要注意，一是它表达了振子离开平衡位置的位移与所受弹力成正比，二是弹力方向始终与位移的方向相反（前提是我们把振子的平衡位置定义为原点，即位移为0的位置）。

牛顿与胡克的“联姻”——常微分方程

接下来，让人尴尬的一步就出现了。如果我们把胡克定律中表达的F 带进牛顿第二定律中去，再把常数放在一起，就得到了下面这货：

在数学中为了更一般的讨论，常常把它写成下面这种形式：

在数学中，第2个方程被称为二阶常微分方程。叫“微分方程”是因为方程中有自变量的微商，叫二阶是因为微商的阶数最高是二阶的，叫“常”是因为等号右边的那一项正好是0。

为什么说尴尬呢？你瞧瞧，有着恩恩怨怨的牛顿和胡克虽然吵了一辈子，但是他们在科学上的成就却彼此左手拉右手，至少在描述简谐振动这件事儿上，别提它们有多甜蜜。

那么该如何求解这个二阶常微分方程，来得到位移x 关于时间t 的表达式呢？解法其实有很多，真真是八仙过海，各显神通了。在这里，我介绍两种求解方式，一个用的是费曼的推理手法，另一个用复数和指数求解的思路。我们一个个地看。

方式三 费曼的推理

费曼是一位擅长通过简单的例子去说明高深问题的大师。比如，1986年，挑战者号失事后，费曼只用一杯冰水和一只橡皮环，就在国会向公众揭示了挑战者失事的根本原因——低温下橡胶失去弹性。而在弹簧振子的问题上，费曼体现了他的另一个能力——面对一个一般的问题，先从简单的情况入手，抓住事物规律的核心，再去考虑补充其他的细节。

接下来，就让我们一起，看看费曼是如何推导出振子位移随时间变化的振动方程的。

1. 考虑特殊情况，化简微分方程

上面的二阶常微分方程中有两个常数m和k，为分析的方便，我们不妨把m和k 放到一块儿，并令k/m=1 ,即假设有这样一个弹簧振子，它的劲度系数的数值和物块的质量的比值等于1，这个假设显然是允许的。这样，没有常数干扰的微分方程就写成了

至于k/m不等于1的情况，我们先放一边儿，过一会儿再考虑它。

2. 抓住微分方程的关键性质尝试构造函数

不知你发现了没有，方程其实表达了这么一个意思：关于时间的函数，在经过两次求导 后居然变回了它自己，还是，只不过多了一个负号。

到底是什么样的函数具有这样的性质呢？此处迅速在头脑里回忆一下初等函数，我们发现，正弦函数或余弦函数都行。不妨设

3. 根据物理意义优化函数的表达

我们知道，时间的单位是"秒"，而余弦cos的括号里装着的应该是以"度"为单位的角度量。因此括号里面不单单有时间，还应该乘上一个量，使得它与时间的乘积是一个角度。

我知道你一定想到了圆周运动的角速度w，因为它乘以时间就是角度。不过，这里需要提醒一下，我们需要的量虽然与角速度在单位上相同，但它并不是物体旋转时的角速度，因为这里的振子并没有体现出旋转的意思。但是我们依然可以借用这个符号，把这个量写成 w0 。这样，振动方程进一步被优化成了下面这个样子：

这个函数离我们的目标以经很近了，可是那个到底是个啥？它有什么物理意义呢？我们还需要进一步探索。

4.把函数尝试代入微分方程

为了理解w0的物理意义，我们把猜测的带入二阶常微分方程中，去看看w0将会有什么表现。代入后的结果如下：

通过比较(1)、(5)这两个式子我们发现，只要令等号右边

这两个式子就相同了。那么

可以看出，这个w0的确跟弹簧的固有属性有关系，那么这个关系体现在什么方面呢？

结合物理情景分析意义

对函数

，我们结合实际振动来分析看看。

1. 首先振子的位移一定在一个区间内变化，最大值有正负之分，有对称性，而且最小值为0，余弦函数的取值范围是(-1,1) ，也具有对称性；
2. 当时间t=0时，x取最大值，这表示振子是从最大位移处开始运动的；
3. 振子振动具有周期性，而cosw0t 正好是周期函数。

表明振子从最大位移处开始运动并计时

函数的性质与振子的物理性质符合得很好，所以我们有理由相信，弹簧振子的运动学方程一定具有余弦函数的内核。

但是还有个问题，振子的振动周期，到底等于多少呢？

这个问题其实很好回答。我们知道，所谓周期，其实就是物体经过一个时间段T之后，正好回到出发点。而在余弦函数cosθ中，周期是2π。也就是说，当振子运动了t=T的时间后， 括号中所谓的"角度"w0t 就将等于2π。这样我们就有

，这样就求得了周期的表达式为：

这个表达式说明什么意思呢？

1. 表明了当振子质量越大，振动的周期越大，即振子振动得越慢；
2. 表明了当弹簧劲度系数越大，振子得周期越小，即振子振动得越快。这和我们上面得讨论和实验规律相吻合。

说到这里，对于振子的运动方程，我们不仅把它的盖头掀开了一大半，还顺带求出了弹簧振子的振动周期，还进一步发现了是一个跟周期有关的量，表达了振动的固有属性。

由特殊到一般，得到通解

通过刚才的分析我们知道，cos(w0t) 仅仅表达了振子从最大位移处开始运动的情况，此时振子的速度为0，然而，振子的运动初速度可以不为0啊。比如本来振子静止在平衡位置，现在让一颗子弹射入振子内部，并从此刻开始计时，那么振子的运动方程就不再是余弦，而要用正弦。

更进一步想想下这个场景，你正在用秒表去记录振子的运动，让秒表指零时为计时起点，此时振子在最大位移处，振动方程正好是余弦。然后牛顿也带着秒表走进来，他刚令秒表从零开始计时（假设你的秒表已经走过了的△t 时间），就发现振子在最大位移的一半处。这个时候，对牛顿而言，他在零时刻看到的振子的位置，应该跟你经过了△t时看到的位置是一样的。因此，振动方程应该写作：

还有最后一个事儿没处理干净，就是振子的振幅，在上面的表达式中，余弦函数的最大值只是1，对应着我们仅仅把振子拉开离平衡位置一个单位长度，可是我们可以把振子拉开到任意长度后松手，也就是振幅可以是1的倍数，也就是说，我们只需要把振幅A 乘到余弦函数前面即可。最终，振子的运动学方程就变成了：

这就是以弹簧振子为代表的简谐振动的通解。

方式四 用复变函数的思路

这个思路要感谢知乎大佬@烤羚羊，他也是从二阶常微分方程入手，在他给出的求解过程中一开始和费曼是一样的，都是先猜想解的形式。只不过，费曼猜想的是余弦函数，而@烤羚羊猜想的是指数，即e^(λt)，它和余弦函数一样，也可以在经历两次求导后得到于原函数类似的形式。经过一通推导后，得到了简谐振动方程的复数形式如下：

有兴趣的同学可以跳转到知乎@烤羚羊的文章（https://zhuanlan.zhihu.com/p/133809744）去看看。

在下一篇文章中，我将从简谐振动的复数形式出发，去看看怎么在GeoGebra中把简谐振动与圆周运动直观地联系起来。

方式五 能量守恒大法好

上面的做法总结起来无外乎两种，一种是从振子的实验数据出发，去猜余弦函数（高中教材的做法），一种是从振子的动力学方程出发，去猜常微分方程的解的可能形式（费曼的做法和知乎@烤羚羊的做法）。都是靠猜。

那有没有什么办法可以不用靠猜，直接通过严谨的数学推导就能得出振动方程呢？有的，就是利用机械能守恒定律。这和上面的思路完全不同，《新概念物理学教程·力学》中用的就是这种办法。我们一起看看吧^_^

弹簧振子具有的能量

为了讨论振子的运动学方程，我们先看看振子运动过程中的不变量——总能量。

对于宏观的弹簧振子而言，总能量无外乎两种，一种是振子的动能,我们在中学就已经知道，显然它和振子的速度有关系，而速度是位置的一阶导数。另一种是系统的弹性势能，那么弹性势能的具体表达式又是什么呢？我么一起把它搞出来。

弹性势能的泰勒级数

我以前被泰勒级数这四个字吓住过，不知道是个什么玩意儿，随着认识的加深，我逐渐明白了它的意义——用来近似的。部分读者可能还蒙在鼓里。接下来请允许我对它多唠叨几句。

首先，我们给出弹性势能的泰勒级数展示式。为了讨论的方便，我们把平衡位置记为0点，那么偏离平衡位置的位移和振子的位置在数值上相等，这样，振子的泰勒级数可以表达为如下形式：

大家不要被这么一长串公式给吓着，怎么理解它的意义呢？我们通过分析一副石膏像的素描过程来理解它。

摩西石膏像的素描图

在上图的素描画中，第一步先画出人物的轮廓，虽然它和真实的照片差距很远，但仍然可以知道这画了一个人，我把它称为对真实照片的模拟加入了一阶近似；

接着第二步，对人像的五官进行深入勾勒，这时我们发现摩西的感觉已经出来了，但还是和真实照片有差距，我把它称为对真实照片的模拟加入了二阶近似；

然后到了第三步，画家开始对照片中的光影明暗进行深入分析和表现，使得素描画更加立体丰满，此时的画作和真实照片的差距已经很小了。我把这称为对真实照片的模拟加入了三阶近似；

现在你应该明白了，只要我们不断地近似下去，让近似项越来越多，我们对原始对象地表现将会越来越逼真。

换元积分求解

有了动能和势能的表达式，我们就可以得到总的机械能表达式

为了等会儿便于积分，把它再改写成

最后的话

洋洋洒洒六千多字，不算多但也不算少，经过这么一通分析，我主要感受到以下两点：

1. 要想认真学懂一个知识，少不了旁征博引，博览群书，不要囿于一家之言。因为一本书有一本书的观点，它往往会受作者的意图、篇幅、定位等方面的考虑，不一定面面俱到。
2. 把学到的知识写下来，讲给大家听，会加深、巩固和检验你对知识了解，还能结交优秀的人。我以前很自卑，很少跟人交流，加上之前视野不开阔，学习不够深入，对很多知识的认识只是浮于表面。在长尾君的引导下，我逐渐学着去学习，学着写点东西，把学到的东西再讲出来。这么做不仅利己，还能利人，何乐而不为呢？

关于简谐振动的方程，也许还有其它的推导方式，如果你知道的话，欢迎在下方评论区留言与我分享，让更多的人知道^_^

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