考研数学二二重积分计算真题(考研数学第一二型曲线积分)

对于积分,首先要有微元法的思想,先简单地引入定积分定义来源:分割-做乘积-求和-取极限。而微元法思想,一直贯穿考研数学的核心,即使到后面的概率论中求概率密度和分布函数,依然需要用微元法的思想。万物皆可微。

对于变换“元”的方法有哪些呢?

时间“元”与空间“元”,点元-线元-面元-体元,均匀-非均匀,直线-曲线。对于极坐标系还有角“元”和弧“元”等等。

根据题目明确对何种元素进行分割?是把曲线分割成很多个一小段,还是把块切成很多个一小薄片?先把分割后某一点处的微元表示出来,然后积分区域累加,最后选用合适方法计算所表示出来的积分。

第一型第二型曲线积分依然要运用微元法的思想。

1.对于第一型曲线积分,其物理意义是求曲线杆的质量,几何意义是对弧长的曲线积分。

考研数学二二重积分计算真题(考研数学第一二型曲线积分)(1)

定义和性质如下:

考研数学二二重积分计算真题(考研数学第一二型曲线积分)(2)

基本计算方法:直接法、利用奇偶性、利用对称性、利用形心坐标

考研数学二二重积分计算真题(考研数学第一二型曲线积分)(3)

对于(1),ds=根号下(dx dy),提出一个dt到根号外,同时在根号内同除dt,就可得到(1)式。

对于(2)是把x看成参数:y=y(x),x=x。ds=根号下(dx dy),提出一个dx到根号外,同时在根号内同除dx,就可得到(2)式。

对于(3)把θ看成参数。

考研数学二二重积分计算真题(考研数学第一二型曲线积分)(4)

考研数学二二重积分计算真题(考研数学第一二型曲线积分)(5)

4.利用形心,纵坐标或横坐标比较明显的情况下,分母表示L的周长容易求的情况下,考虑此法。

有关第一型曲线积分的题型一般用上述四种方法即可求解,比较简单。

2.对于第二型曲线积分,其物理意义是变力沿曲线做功。

由于是变力(有大小也有方向)和曲线,所以在计算过程中要注意方向。相对于第一型曲线积分是对弧长(只有正)的线积分,而第二型曲线积分则是对坐标(有正有负)的线积分。

第二型曲线积分定义和性质如下:

考研数学二二重积分计算真题(考研数学第一二型曲线积分)(6)

计算方法有如下几种,具体题目依据其已知情况选用组合不同方法。

考研数学二二重积分计算真题(考研数学第一二型曲线积分)(7)

【直接法是通过变量参数化后计算定积分,起点为下限,终点为上限】

【注:使用格林公式需要:L需要满足光滑封闭正向曲线,正向:如果是单连通区域,逆时针为曲线正向,如果是复连通区域,则外圈逆时针,内圈顺时针。总而言之,内圈外圈都要满足你在“跑步时”,左手是靠在积分区域内侧。可以画图理解:箭头方向为正方向,左手均靠在区域(阴影部分)内侧。 P(x,y),Q(x,y)在区域内有一阶连续偏导数,即区域内没有瑕点(无定义点),满足以上两个条件才能用格林公式。如果:曲线非闭合,则补线闭合后再用格林公式,如果存在瑕点,则挖去瑕点变成复连通区域再用格林公式】

考研数学二二重积分计算真题(考研数学第一二型曲线积分)(8)

考研数学二二重积分计算真题(考研数学第一二型曲线积分)(9)

【注:两类曲线积分的联系,需要求有向曲线弧在某点处的切向量的方向角cosα=正负(dx/dt)/((根号下dx dy)/dt),计算量大,一般不用此法】

典型例题:例1,利用积分与路径无关。

考研数学二二重积分计算真题(考研数学第一二型曲线积分)(10)

两种解法如下,第一种解法简要变换路径亦有两种。

考研数学二二重积分计算真题(考研数学第一二型曲线积分)(11)

解法二如下:

考研数学二二重积分计算真题(考研数学第一二型曲线积分)(12)

例2、利用格林公式以及补线用格林公式

考研数学二二重积分计算真题(考研数学第一二型曲线积分)(13)

考研数学二二重积分计算真题(考研数学第一二型曲线积分)(14)

考研数学二二重积分计算真题(考研数学第一二型曲线积分)(15)

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