离散时间傅里叶变换频率响应（时域上的采样VS频域上的周期延拓）

数字信号处理DSP基本原理之一：采样时间信号的频谱具有周期性，且周期与采样率相等。

这个结论可以帮助我们在大脑中构建这样的一幅图像：

• 时域的动态采样，相当于在频域进行周期延拓，延拓的周期与时域采样率相等。

教科书中关于这个结论的推导很多，但是我们今天换一个角度来看待这个问题：

图1 离散傅里叶级数，截取一个周期变成DFT

现在给出有限长序列离散傅里叶变换的定义。设有限长序列x(n)长度为N(在0≤n≤N-1范围内)，它的离散傅里叶变换X(k)仍然是一个长度为N(在0≤k≤N-1范围内)的频域有限长序列。

准确的说是离散X(k)是时间序列x(n)的离散频率谱。

• n为时间序号
• k为频率序号
• N为时间序列x(n)的样本点总数

图1中只选择看一个周期(主值序列)，就是离散傅里叶变换DFT。

我们可以发现，时间和频率关系如下：

• t=nTs②
• f=kf1=k/T1=k/NTs=kfs/N ③

其中，Ts是采样时间间隔(以秒为单位)，fs=1/Ts为采样频率(以Hz为单位)。且T1/Ts=N;

当n的范围为0到N-1时，k的范围取决于我们要计算X(k)的频率范围。例如，如果我们让k=0到N-1，等式③产生f=0到fs(N-1)/N的频率范围，这是DFT通常范围。

下面，我们将在k=-2N到2N-1的更宽范围内评估X(k)，这给出了f=-2fs到fs(2n-1)/N的频率范围。

图1 DFT幅值图

图2显示了时间序列x(n)、对应的DFT幅度值和db-幅值。

如图2所示，频谱是周期性的，周期为fs。

关于频谱的周期性，我们直接可以在DFT的方程中找到答案。

方程中存在一个复指数函数e，我们可以把它理解成：

将一个圆(2π)等分成N份，即2π/N，然后取第k个值，即2πk/N。

然后再计算。

每计算一圈(2π)，再开始重复。

所以必然计算的结果是周期的，而且周期为N。

如图3所示。最上面的图显示了我们的计算结果DFT变换X(k)。

图3中间显示了，k=0到N-1的范围内的X(k)；

图3底部的图只显示k=-N/2到N/2-1的样本，这是一个同样有效的范围。

图3 放大看DFT

让我们看一下在k=-N/2到N/2-1上计算的DFT。

图4显示了DFT的实数部分、虚部和幅值。

图4说明了DFT的另一个属性：

对于实数序列x(n)，DFT具有一个偶函数的实数部分和一个奇函数的虚部。

该属性对于k=0到N-1计算的DFT也是保留的，但在这种情况下，偶数和奇数是根据fs/2 Hz定义的，而不是0 Hz。

图4 从上到下依次为实数部分、虚数部分和幅值

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