微积分常用公式汇总（图解微积分之泰勒公式和其背后的几何意义）

01 开场白

自从我努力将所学知识以动图的形态呈现给大家之后，我惊喜的发现我对知识点的理解变得更加的透彻了。这难道就是：

予人玫瑰，手留余香！

泰勒公式是非常非常重要的一个工具，同时也是不容易理解消化的知识点。如果你认为这篇文章讲解的好，请分享给身边的大学生，不管是亲戚、朋友。

02 cos(x)在0点附近的泰勒分解

cos(x)

当我们仔细观察 g(x) = cos(x) 函数的时候，当 x = 0 处的图形和抛物线的图形（红色）相似度极高。

红色抛物线的公式可表示如下：

抛物线公式

当 x = 0 时，g(0) = cos(0) = 1。 我们的目的是将抛物线 f(x) 和 cos(x) 的图形尽量逼近。那么，在 x = 0 时， f(0) = g(0) = 1。

x = 0处值

图1：抛物线变换（一）

上图所示，在我们定下 c = 1的情况下，第二项中 a 的值将会对抛物线在 x = 0 处切线斜率产生影响。cos(x) 在 x = 0 出的图形切线斜率为 0（红线所示）。自然，我们也需要将抛物线在 x = 0 处切线斜率逼近 0。

切线的斜率 = 切线函数的一阶导数

一阶导数

我们需要保证 f(x) 和 g(x) 在 x = 0 处的切线斜率相等，那么 a = 0。

图2：抛物线变换（二）

上图所示抛物线公式中 b 对于图形形状的影响。二阶导数是个很抽象的概念，有的表达式 切线斜率的变化率。这并不方便记忆，所以我们可以结合导数的物理意义来帮助记忆。

• 路程 S 的一阶导数对应 速度 V；
• 路程 S 的二阶导数对应 加速度 α；

图3：抛物线变换（三）

我们分别在两个图形上定两个小球，由于两个图形的一阶导数（速度）为0，也就是初始速度都是0。之后，我们可以清楚的看到，红色曲线上的小点运动加速度要大于蓝色曲线上的小点。这就是 抛物线公式中 b 对整体的影响。

知道这一点后，我们就可以通过二阶导数相等去求出 b 了。

二阶导数

如上所示，2b = -1, b = -0.5。

所以抛物线的方程可以如下表示：f(x) = 1 - 0.5 * x^2

图4：抛物线变换（四）

03 结果验证

我们得到了 cos(x) 在 x = 0 处的泰勒公式近似公式，那么是不是可以用该公式求cos(x)的近似值呢？

• 当 x = 0.1时：

cos(0.1) = 0.995994165

1 - 0.5 * x^2 = 0.995

• 当 x = 0.5时：

cos(0.5) = 0.877582562

1 - 0.5 * x^2 = 0.875

我们发现，当 x 的取值离 x = 0 越来越远，则误差越来越大。从图4中也能看出，蓝色和红色小球之间的距离越来越远。

这不代表我们的公式有问题，是因为我们的公式推导过程本身就是基于 x = 0 附近的点的近似求解。自然 x 的值里0点越远越不准。

那么怎么样提高精度呢？我们可以不断的在公式后面增加更高次幂的式子。

我们一起来看看我们不断增加高次幂之后，两个图形的重合度有什么变化吧。

图5：抛物线变换（五）

在 x 取别的值的时候，我们依然可以按照上述过程进行泰勒展开。当我们 在 x = π 的时候做泰勒展开，图形会如图6般美妙。

图6：抛物线变换（六）

泰勒公式通式：

泰勒公式

04 泰勒公式的几何意义

图7：泰勒公式几何意义

那么，蓝色、红色和绿色的面积分别为多少呢？

也就是说，泰勒公式中

• 第一项为蓝色的面积区域；
• 第二项为红色的面积区域；
• 第三项为绿色的面积区域；
• 依次类推，不断增进精度。

05 总结

理解知识才能熟练掌握，而将数学、几何和物理融会贯通才能所向披靡。

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