中考动点最值解法（以静制动让动点先不要动）

所谓"动点型问题"是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目。 这类试题以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其他量之间的关系，或变量在一定条件为定值时，进行相关的几何计算和综合解答，解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解。下文主要针对多动点问题进行分析讲解。

解题策略

解决此类与运动、变化有关的问题，重在运动中分析，变化中求解。

首先，要把握运动规律，先固定一动点，然后寻求运动中的特殊位置，在"动"中求"静"，在"静"中探求"动"的一般规律。

其次，通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质，要用运动的眼光观察出各种可能的情况分类讨论，较为精确地将每种情况一一呈现出来。

再次，要学会将动态问题静态化，即将动态情境化为几个静态的情境，从中寻找两个变量间的关系，用相关字母去表示几何图形中的长度、点的坐标等，很多情况下是与三角形的相似和勾股定理等联系在一起的，在整个解题过程中，要深刻理解分类讨论、数形结合、化归、相似等数学思想。

经典考题

1.如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，AC＝4√2，∠ACB＝45°

（1）计算：求BC的长；

（2）操作：将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．如图2，当点C1在线段CA的延长线上时,求∠CC1A1的度数；

（3）探究：如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转所得到的△A1BC1中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．

【解析】（1）如图1中，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH，CH，BH即可解决问题．BC＝BH CH＝3 4＝7．

（2）利用旋转的性质解决问题即可求∠CC1A＝90°．

（3）本题我们发现有两个运动状态：①旋转运动：△ABC绕着点B旋转；②点P在线段AC上运动，旋转后的对应点为P'

逐步分析，以静制动，我们先让点P安静点不要乱动！

然后可知在△ABC旋转的过程中，点P的轨迹是以B为圆心，BP长为半径的一个圆（如图1）.

①如图2，过点B作BD⊥AC，D为垂足，

∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上，

在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝7√2/2，

此时容易分析出，当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE＝7√2/2﹣5/2；

②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1＝BC BE＝5/2 7＝19/2．

2．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE PF的最小值是______．

【分析】本题更厉害，直接三个动点，这题虽然动点较多，但是仍然可延续上面一题的思想，"先固定，后放开"

本题我们先固定点P，那么当点P固定时，PE PF的最小值自然是PE、PF同时取得最小时的情况，此时PF的最小值为PB-BF，PE的最小值为PA-AE，所以PE PF的最小值为PB PA-3

此时，点E、F两个动点转化到A、B两个定点上去了，问题就变为了求"PA PB"将军饮马问题，通过这种方式从而求得解题思路！

【解答】：作A点关于直线DC的对称点A′，连接BD，DA′，

可得A′A⊥DC，则∠BAA′＝90°，故∠A′＝30°，

则∠ABA′＝60°，∠ADN＝∠A′DN＝60°，

∵AB＝AD，∠BAD＝60°，

∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，

∴∠ADB ∠ADA′＝180°，

∴A′，D，B在一条直线上，

由题意可得出：此时P与D重合，E点在AD上，F在BD上，此时PE PF最小，

∵菱形ABCD中，∠A＝60°，

∴AB＝AD，则△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝AD＝3，

∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，∴PE＝1，DF＝2，

∴PE PF的最小值是3．

故答案为：3．

变式．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，⊙A、⊙B的半径分别为4和2，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE PF的最大值是（　　）

A．6√3 12 B．6√3 16 C．18 D．6

【分析】如图，连接PB，延长PB交⊙B于F，连接PA交⊙A于E，要求PE PF的最大值，可以转化为求PA PB的最大值．通过寻找特殊点，发现当点P与点C重合时，PA、PB同时取得最大值，此时PA PB的值最大．

【解答】：如图，连接PB，延长PB交⊙B于F，连接PA交⊙A于E，

要求PE PF的最大值，可以转化为求PA PB的最大值．

∵点P在线段CD上，

∴①当点P与点C重合时，PA最大，（因为∠ACD＜∠ADC，所以，点C是"小角"点）；

②当点P与点C或者点D重合时，PB最大．（因为∠ACD＝∠ADC，所以，点C、D均是"小角"点）．所以，根据①、②可知，当点P与点C重合时，PA、PB同时取得最大值，此时PA PB的值最大，

在△ACD中，∵∠ADC＝120°，AD＝DC＝6，

∴AC＝2×6×√3/2＝6√3，

∴PE PF的最大值＝AC AE BC BF＝6√3 12．

故选：A．

3．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，先将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．

（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图1）．

①当点P与点A重合时，∠DEF＝_______°，当点E与点A重合时，∠DEF＝_______°．

②当点E在AB上时，点F在DC上时（如图2），若AP＝7/2，求四边形EPFD的周长．

（2）若点F与点C重合，点E在AD上，线段BA与线段FP交于点M（如图3），当AM＝DE时，请求出线段AE的长度．

（3）若点P落在矩形的内部（如图4），且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值．

【解析】（1）①当点P与点A重合时，EF是AD的中垂线，可得结论；当点E与点A重合时，如图2，则EF平分∠DAB, 故答案为90，45；

②如图3中，证明△DOF≌△POE（ASA）得DF＝PE，根据一组对边平行且相等得：四边形DEPF是平行四边形，加上对角线互相垂直可得▱DEPF为菱形，当AP＝7/2时，设菱形的边长为x，根据勾股定理列方程得：32 （7/2﹣x）2＝x2，求出x=85/28，所以菱形的周长＝85/7；

（2）如图3中，连接EM，设AE＝x．

由折叠知PE＝DE，∠CDB＝∠EPM＝90°，CD＝CP＝4，

∵AM＝DE∠A＝90° EM＝EM，

∴Rt△AEM≌Rt△PME（HL），∴AE＝PM＝x，

∴CM＝4﹣x，BM＝AB﹣AM＝AB﹣DE＝4﹣（3﹣x）＝1 x，

在Rt△BCM中，BM² BC²＝CM²,

∴3² （1 x）²＝（4﹣x）²,

解得,x＝0.6．∴AE＝0.6．

（3）在本问中，存在E、F两个动点，两个动点一起运动时，研究问题相对较麻烦，所以常常先固定一个动点，然后在该点固定的背景下来研究另外一个动点，依次达到"减小思维量、简化问题"的功能！

比如可先固定点E不动，让点F先动，于是可知，点P的轨迹在以点E为圆心，ED为半径的圆上运动，发现随着点F越靠近点C，AP越小，所以可知，当点F运动到与点C重合时，AP最小。

当点F与点C重合时，本题就变得"常规了"，此时点P在以C（F）为圆心，CD（即4）为半径的圆上运动，所以当A、P、C共线时，AP最小，此时AP=5-4=1.

初中阶段的同学，可以从三角形三边关系去分析，也可以作图操作探究出点F在点C位置时点P靠点A最近. 因此有如此求解过程。

如图4﹣1中，连接PF，AP，AC．

∵PA≥FA﹣FP，FD＝FP，

∴PA≥FA﹣FD，此时PA的最小值＝FA﹣FD，

∵（FA﹣FD）﹣（AC﹣CD）＝FA﹣DF﹣AC DF CF＝FA CF﹣AC＞0，

∴AC﹣CD＜FA﹣FD，

∴当F与C重合时，FA﹣FD的值最小，由折叠得：CD＝PC＝4，

由勾股定理得：AC＝5，

∵PA≥AC﹣PC，

∴当P，A，C共线时，AP有最小值，∴AP＝5﹣4＝1，

则AP的最小值是1．

4.如图①是一副三角板，其中∠B＝∠E＝90°，∠A＝∠C＝45°，∠F＝30°，AC＝EF＝2．把两个三角板ABC和DEF叠放在一起（如图②），且使三角板DEF的直角顶点E与三角板ABC的斜边中点O重合，DE和OC重合．现将三角板DEF绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形BGEH是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图③）．

（1）当旋转角度为45°时，EG和AB之间的数量关系为_______．

（2）当DF经过三角板ABC的顶点B，求旋转角α的度数．

（3）在三角板DEF绕O点旋转的过程中，在DF上是否存在一点P，使得∠APC＝90°，若存在，请利用直尺和圆规在DF上画出这个点，并说明理由，若不存在，请说明理由．

（4）在射线EF上取一点M，过M作DF的平行线交射线ED于点N（如图④），若直线MN上始终存在两个点P、Q，使得∠APC＝∠AQC＝90°，求EM的取值范围．

【分析】（1）旋转角度为45°时，EG是△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理即可得出EG和AB 之间的数量关系．

（2）当DF经过三角板ABC的顶点B，求旋转角α的度数，即求∠ECD的度数，通过作辅助线可以得到P点与B点重合，从而得到答案．

（3）实际上是圆的切线的性质及判定的运用．

（4）题意告诉我们存在的点要在AC为直径的圆上，所以MN就应该是圆的弦从而得到EM应小于AC的一半．

【解答】：（1）AB＝2EG．

（2）过点E作EP⊥DF，垂足是P，

∵∠B＝90°，∠A＝∠C＝45°，AC＝2

∴EB＝1

∵∠FED＝90°，∠F＝30°，EF＝2

∴EP＝1

∴当DF经过三角板ABC的顶点B时，点P与点B重合，

此时∠PED＝30°，∠CED＝60°

即旋转角α为60°；

（3）以E为圆心，EC为半径画圆，与DF相切于点P，P点即为所求的点．

∵∠FED＝90°，∠F＝30°，EF＝2, ∴EP＝1.∴P点在⊙E上，

∵AC是⊙E直径，∴∠APC＝90°；

（4）以E为圆心，EC为半径画圆．

当EM＜2时，直线MN和⊙E交于P、Q两点，∠APC＝∠AQC＝90°．

反思总结

“让动点先不要动”，主要出现在多重动态问题当中，体现出的是一种解题思维，即对问题逐步分析，逐步解决，然后各个击破！这种思想在生活与学习当中也可运用！也是正如华罗庚先生所言，遇到困难的问题，学会退，退到最简单的情况，以获得启发，进而找到解决问题的正确途径。

当我们上学时，在学校往往由于所学科目太多，作业太多，来不及处理学习中的问题时，可以让一些问题先安静点，先解决掉重要的、紧急的问题动起来，然后再去解决次要问题！

当工作时遇见一大堆事无法处理的时候，先抛开一些问题，先去解决重要的、较紧急的事，解决后再去解决次要的问题！人脑CPU就那么点处理量，如果顾忌的东西越多，那么往往只会得不偿失。

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