微积分通俗讲解书（这有一份包含习题与代码的数学教程）

晓查 发自 凹非寺

量子位 报道 | 公众号 QbitAI

以快速简洁闻名Julia，本身就是为计算科学的需要而生。用它来学习微积分再合适不过了，而且Julia的语法更贴近实际的数学表达式，对没学过编程语音的初学者非常友好。

最近，来自纽约斯塔顿岛学院的数学系教授John Verzani编写了一份微积分与Julia的教程，里面常见的微积分概念和图像演示都有，比课本更生动直观，每个章节后还附习题供读者巩固知识。

虽然很多学校在使用Mathematica、Maple等数学软件在进行教学，但是Julia的优势是完全开源和免费。

准备工作

在使用教程之前，我们先给Julia安装Plots包，这是用来绘制函数图像的扩展包。此外还要安装SymPy科学计算库等其他软件包。

using Pkg Pkg.add("Plots") Pkg.add("SymPy") Pkg.add("Roots") Pkg.add("Forwarddiff") Pkg.add("ImplicitEquations") using Plots plot(sin, 0, 2pi)

安装完以上的扩展包，就可以绘制函数图像了。我们简单绘制0到2π范围的正弦函数图像：

using Plots plot(sin, 0, 2pi)

Julia支持输入特殊数学符号，具体的方法是斜杠\后紧跟符号的LaTeX名称，然后按下Tab键，就能输出特殊字符。比如：

θ = 45; v₀ = 200

输入θ的方法是\theta[tab]，输入v₀的方法是v\_0[tab]。

导数

完成了Julia部分的基本教学后，下面就是微积分的基本概念了。

先回顾一下导数的定义，从函数图像上来看，导数就是函数割线斜率的极限，当割线上两点合并成一点时，它就变为切线。

其实就是求下面的极限：

Julia集成了求极限的功能，对于正弦函数sin(x)而言，求它的导数就是[sin(x h)-sin(x)]/h在h趋于0时的极限

using SymPy limit((sin(x h) - sin(x))/ h, h, 0)

通过以上方法求得sin(x)在x=0处的导数为1，绘制成函数图像就是：

f(x) = sin(x) c = 0 tl(x) = f(c) 1 * (x - c) plot(f, -pi/2, pi/2) plot!(tl)

导数的应用

1、牛顿法

通过切线逐步逼近，求方程的近似解。

2、洛必达法则求极限

写成Julia语言：

using SymPy a,x = symbols("a, x", positive=true, real=true) f(x) = sqrt(2a^3*x - x^4) - a * (a^2*x)^(1//3) g(x) = a - (a*x^3)^(1//4)

上面的表达式过于复杂，是0/0的未定式，对分子f(x)和分母g(x)分别分别求导：

fp, gp = subs(diff(f(x),x), x=>a), subs(diff(g(x),x), x=>a)

得到结果

(-4*a/3, -3/4)

所以极限值为16a/9。

积分

定积分就是求函数曲线下包围面积：

上图展示了求定积分的方法：把函数下方图形分割成若干个长条，随着长条越分越细，这些长条的面积之和就越来越接近曲线下包围的面积。

为了求函数f(x)=x²在[0,1]区间里的定积分的近似值，我们把整个区域划分成50000份：

a, b = 0, 1 f(x) = x^2 n = 50_000 xs = a:(b-a)/n:b deltas = diff(xs) cs = xs[1:end-1] sum(f(cs[i]) * deltas[i] for i in 1:length(deltas))

最后求得结果为：

0.3333233333999998

显然用这种方法求定积分太过复杂，这就需要引入不定积分的概念。不定积分是已知导数f’(x)求原函数f(x)。

定积分与不定积分由牛顿-莱布尼兹公式联系起来：

积分的应用

学会了积分以后，教程里给出了它的几个实际应用案例：

1、求曲线长度

求解f(x)=x²在[0,1]这段区间里的弧长，实际上求积分。

先求不定积分：

using SymPy @vars x F = integrate(sqrt(1 (2x)^2), x)

F(1)-F(0)就是所求弧长：

2、求体积

求体积的方法是把物体“切”成一圈圈的米其林，每一圈的体积加起来就是总体积。

将直线x/r y/h=1绕着y轴旋转一周，得到一个底面直径为r，高度为h的圆锥体。

using SymPy @vars r h x y R = r*(1 - y/h) integrate(pi*R^2, (y, 0, h))

最后求得体积：

教程中还有很多其他基本概念，由于篇幅较长，我们就不一一介绍了，感兴趣的朋友可以去博客中进一步学习。

原文地址：

https://calculuswithjulia.github.io/

— 完 —

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