一元一次方程图解及答案（一元三次方程发展史及解法解读）

众所周知，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为3次的整式方程叫做一元三次方程。一元三次方程的标准形式（即所有一元三次方程经整理都能得到的形式）是ax3 bx2 cx d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0）。

在很早之前就有人掌握了一元二次方程的解法，但是对一元三次方程的研究，则是困难重重。如在古代中国、希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，但是他们所发现的几种解法，都仅仅能够解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三次方程就不适用了。

随着社会不断进步和数学进一步的发展，在十六世纪的欧洲，一元三次方程也有了固定的求解方法。在很多数学文献上，把三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”，这显然是为了纪念世界上第一位发表一元三次方程求根公式的意大利数学家卡尔丹诺。

卡尔丹诺公式解法介绍：

卡丹公式法的特殊情况

如果一个一元三次方程的二次项系数为0，则该方程可化为x³ px q=0。它的解是：

当△＞时，方程有一个实根和一对共轭复根，

当△=0时，方程有三个实根，其中有两个根相等，

当△＜0时，方程有三个不相等的实根。

一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法，两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。由于用卡尔丹公式解题存在复杂性，范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式——盛金公式，并建立了新判别法——盛金判别法。

相比之下，盛金公式解题更为直观，效率更高。

1.盛金公式

2.盛金判别法

当A=B=0时，方程有一个三重实根。

当Δ=B2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根。

当Δ=B2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个二重根。

当Δ=B2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。

3.盛金定理

当b=0，c=0时，盛金公式1无意义；当A=0时，盛金公式3无意义；当A≤0时，盛金公式4无意义；当T<－1或T>1时，盛金公式4无意义。

当b=0，c=0时，盛金公式1是否成立？盛金公式3与盛金公式4是否存在A≤0的值？盛金公式4是否存在T<－1或T>1的值？盛金定理给出如下回答：

盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式1仍成立）。

盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时，适用盛金公式1解题）。

盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时，适用盛金公式1解题）。

盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式2解题）。

盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式2解题）。

盛金定理6：当Δ=0时，若A=0，则必定有B=0（此时，适用盛金公式1解题）。

盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式3一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式3解题）。

盛金定理8：当Δ<0时，盛金公式4一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式4解题）。

盛金定理9：当Δ<0时，盛金公式4一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1<T<1。

显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。

注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ>0时，不一定有A<0。

盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。

一元三次方程的求解公式的解法通过归纳思维得到,即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。一元三次方程的求根公式主要有两种，即卡尔丹公式和盛金公式。其中卡尔丹公式是历史上首个完整解决一元三次方程的求根问题的重要公式，因此卡尔丹公式具有重要的历史意义。