解方程的五大定律（改变世界的方程式）

数字起源于实际问题：记录财产（如动物或土地）和金融交易（如税收和记账）。已知最早的数字符号，除了像||||这样简单的计数符号外，在公元前8000年，美索不达米亚的会计人员使用各种形状的泥印章来记录。考古学家发现，每个形状都代表一种基本的商品——一个球形的谷物，一个鸡蛋，一罐油等等。为了安全起见，这些印章用粘土包裹起来。但打开一个粘土包裹，看看里面有多少印章是一件麻烦事，所以古代的会计师在包裹外面划上符号，显示里面是什么。最终，他们意识到，一旦你有了这些符号，你就可以扔掉这些印章。其结果是一系列书写数字的符号——这是后来所有数字符号的起源，也许也是书写的起源。

伴随数字而来的是算术：用于加、减、乘、除数字的方法。像算盘这样的工具被用来做算术，结果可以用符号记录下来。过了一段时间，人们发现了在没有机械辅助的情况下使用这些符号进行计算的方法，尽管算盘仍然在世界上许多地方被广泛使用，而在大多数其他国家，电子计算器已经取代了笔和纸的计算。

算术在其他方面也被证明是必不可少的，尤其是在天文学和测量学方面。随着物理科学的基本轮廓开始浮现，科学家们需要用手进行更加精细的计算。这通常会占用他们大量的时间，有时是几个月或几年，妨碍他们进行更多的创造性活动。最后，必须加快“计算”这一进程。无数的机械装置被发明出来，但最重要的突破是一个概念上的：先思考，后计算。使用聪明的数学，可以使困难的计算变得容易得多。

这种新的数学很快就发展出了自己的生命，具有深刻的理论意义和实践意义。今天，这些早期的思想已经成为整个科学领域不可或缺的工具，甚至延伸到心理学和人文学科。它们被广泛使用，直到20世纪80年代，计算机使它们在实际用途上过时，但尽管如此，它们在数学和科学中的重要性继续增长。

其核心思想是一种叫做对数（logarithm）的数学技术。它的发明者是一个苏格兰人，但是，一位对航海和天文学有着浓厚兴趣的几何教授，用一个好得多的想法取代了苏格兰人聪明但有缺陷的想法。

1615年3月，亨利·布里格斯给詹姆斯·亚瑟写了一封信，信中记录了科学史上的一个重要事件：

纳珀，马尔金斯顿的领主，已经让我的脑袋和双手开始研究他那令人钦佩的新对数了。如果上帝愿意的话，我希望今年夏天能见到他，因为我从来没有见过哪本书比他的书更使我高兴，更使我感到惊奇。

布里格斯是伦敦格雷欣学院的第一位几何学教授，而“纳珀，马尔金斯顿公爵”是约翰·纳皮尔，默奇斯顿的第八任领主，默奇斯顿现在是苏格兰爱丁堡市的一部分。纳皮尔似乎有点神秘；他对神学有浓厚的兴趣，但主要集中在《启示录》上。在他看来，他最重要的作品是《圣约翰启示录》，这本书让他预言世界将在1688年或1700年终结。他被认为同时从事炼金术和巫术。据传闻，无论他走到哪里，他都带着一只装在小盒子里的黑蜘蛛。

纳皮尔把他的大部分时间花在数学上，特别是用来加速复杂算术计算的方法。纳皮尔的一项发明是一组十根棒，上面标有数字，这简化了长乘法的过程。更让他声名鹊起的发明创造了一场科学革命：1614年的《对数经典描述》。

数学家们，在数学艺术的实践中，没有什么比在冗长的乘法和除法、求比、求平方根和立方根等繁琐的工作中所遭受的巨大拖延更令人乏味的了。我一直在想，究竟用什么稳妥而迅速的方法，才能克服这些困难呢？最后，经过研究，我终于找到了一种缩短计算的神奇方法……

布里格斯一听说对数就被迷住了。像他那个时代的许多数学家一样，他花了大量时间进行天文计算。我们之所以知道这一点，是因为布里格斯在1610年写给厄舍的另一封信中提到了计算日蚀，还因为布里格斯此前出版了两本数表书，一本与北极有关，另一本与航海有关。所有这些作品都需要大量复杂的算术和三角学知识。纳皮尔的发明将节省大量繁琐的劳动。但布里格斯越研究这本书，就越相信，尽管纳皮尔的方法很好，但他的方法却错了。布里格斯提出了一个简单但有效的改进方案，并长途跋涉来到苏格兰。他们见面的时候，几乎花了一刻钟的时间，彼此赞赏地望着对方，才说了一句话。

是什么引起了如此多的赞赏？对于任何学习算术的人来说，一个重要的观察是，加法相对容易，而乘法则不然。乘法比加法需要更多的算术运算。例如，两个十位数的数字相加大约需要十个简单的步骤，而乘法则需要200个步骤。在现代计算机中，这个问题仍然很重要，但现在它被隐藏在用于乘法运算的算法中。但在纳皮尔的时代，这一切都必须手工完成。如果有一些数学技巧可以把这些讨厌的乘法运算转换成漂亮的、快速的加法运算，那不是很棒吗？这听起来好得令人难以置信，但纳皮尔意识到这是可能的。诀窍是用一个固定数的幂。

在代数中，未知x的幂可由上标表示。即，xx = x^2, xxx = x^3, xxxx = x^4，等等。而在代数中，通常将两个字母放在一起意味着应该将它们相乘。例如10^4 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10000。在你发现一种简单的方法来计算10^4 × 10^3之前，您不需要在这些表达式上花很长时间。只是写出

答案中0的个数是7，等于4 3。计算的第一步说明了为什么是4 3：我们把4个10和3个10放在一起。简而言之

同样的，无论x的值是多少，如果我们用它的a次方乘以它的b次方，其中a和b是整数，那么我们得到(a b)次方：

这似乎是一个无关紧要的公式，但在左边，它是两个量相乘，而在右边，主要步骤是a和b相加，这更简单。

假设你要用2.67乘以3.51。乘法得到9.3717，小数点后两位是9.37。如果你尝试使用之前的公式呢？诀窍在于x的选择，如果我们取x为1.001，那么一些算术就能揭示这一点

精确到小数点后两位。公式告诉我们2.87 × 3.41等于

小数点后两位是9.37。

计算的核心是一个简单的加法：983 1256 = 2239。然而，如果你检查一下我的计算，你会很快意识到，如果我把问题变难了，而不是变简单了。要算出(1.001)^983，需要将1.001乘以自身983次。要发现983是正确的幂，你需要做更多的计算。乍一看，这似乎是一个无用的想法。

纳皮尔的深刻见解是，这种反对是错误的。但为了克服它，必须计算1.001的许多次幂，从(1.001)^2开始，直到(1.001)^10,000。然后他们可以公布一张所有这些幂的表格，然后查表就可以了。

真正准确的结果需要更接近1的幂，比如1.000001。这使得表变得更大，有大约一百万次幂。为这个表进行计算是一项巨大的任务。

在这个例子中，我们可以说幂983和1256，是我们想要乘以的数字2.67和3.51的对数。同样，2239是他们乘积9.38的对数。把log写成缩写，我们所做的就是这个方程：

对任意数字a和b都有效。任意选择的1.001称为底数。如果我们使用不同的底数，我们计算的对数也会不同，但对于任何固定的底数，一切都是一样的。

纳皮尔就该这么做。但出于我们只能猜测的原因，他做了一些稍微不同的事情。布里格斯从一个全新的角度来研究这项技术，他发现了两种方法来改进纳皮尔的想法。

当纳皮尔在16世纪后期开始思考数字的幂时，将乘法简化为加法的想法已经在数学家中流传开来。丹麦人采用了一种非常复杂的方法，叫做“修复法”，它是根据一个涉及三角函数的公式推导出来的。纳皮尔对此很感兴趣，他很聪明地意识到，用一个固定数字的幂可以更简单地完成同样的工作。必要的表格并不存在。必须有一些具有公益精神的人来做这项工作。纳皮尔自愿承担这项任务，但他犯了一个战略性错误。

他用的不是比1稍大的底数，而是比1稍小的底数。因此，幂级数开始时是大数，然后逐渐变小。这使得计算略显笨拙。

布里格斯发现了这个问题，并找到了解决方法：使用略大于1的底数。他还发现了一个更微妙的问题，并进行了处理。如果纳皮尔的方法被修改为具有类似于1.0000000001的幂次，那么在12.3456和1.23456的对数之间就没有直接的关系了。所以还不清楚什么时候会停止。问题的根源是log 10的值，因为

不幸的是，log10很棘手，以1.0000000001为底，10的对数是23,025,850,929。布里格斯认为如果底数能选择使得log 10 = 1就更好了。然后log10x = 1 logx，不管log1.23456是多少，只要加1就能得到log12.3456。现在的对数表只需要从1到10就可以了。如果出现了更大的数字，只需加上适当的整数。

log 10 = 1，和纳皮尔一样，以1.0000000001为底，然后每个对数除以这个奇怪的数字23025850929。得到的表由以10为底的对数组成，我写成log10x，它们是满足的

和以前一样，同时

不到两年，纳皮尔就去世了，于是布里格斯开始研究以10为底的对数表。1617年，他出版了《第一千的对数》，描述了从1到1000的整数的对数，精确到小数点后14位。1624年，他又推出了《算术对数》，这是一个以10为底的对数表，从1到2万以及从9万到10万。其他人迅速跟随布里格斯的脚步，填补了这个巨大的空白，并开发了一些辅助表格，比如三角函数的对数，如logsinx。

启发对数的同样的思想允许我们定义一个正变量x的x^a次方对于a的值不是正整数。我们所要做的就是让定义与方程x^ax^b = x^（a b）一致。为了避免麻烦，最好假设x是正的，并定义x^a，使它也是正的。

例如，x^0是什么？我们知道x^1 = x，公式说x^0必须满足x^0x = x（0 1） = x，除以x，得到x^0 = 1。那么x^（-1）呢？公式是

除以x，得到x^（−1） = 1/x。

当我们考虑x^（1/2）时，它开始变得更有趣，而且可能非常有用。它必须满足

所以x^（1/2）乘以它本身就是x，唯一具有这个性质的数就是x的平方根，所以

同理，我们可以对任何分数p/q定义x^（p/q）。然后，用分数来近似实数，我们可以定义任意实数a的x^a，方程x^ax^b = x^（a b）仍然成立。

完备的对数表一问世，就成为科学家、工程师、测量员和航海家不可缺少的工具。他们节省了时间和精力，使答案更精确。在早期，天文学是主要的受益者，因为天文学家通常需要进行长时间和困难的计算。法国数学家、天文学家皮埃尔·西蒙·德·拉普拉斯说，对数的发明“将许多个月的工作缩短到几天，使天文学家的寿命延长了一倍，并使他避免了错误和厌恶”。随着机械在制造业中的应用越来越广泛，工程师们开始越来越多地运用数学——设计复杂的齿轮，分析桥梁和建筑物的稳定性，以及建造汽车、卡车、轮船和飞机。几十年前，对数是学校数学课程的重要组成部分。工程师们在口袋里装了一个对数模拟计算器，一个对数基本方程的物理表示，供现场使用。他们称其为计算尺，并将其应用于从建筑到飞机设计的各个领域。

1630年，英国数学家威廉·奥特雷德用圆形刻度绘制出了第一个计算尺。1632年，他修改了这一设计，将两个尺子改为直的。这是第一个计算尺。这个想法很简单：当你把两根杆子首尾相接时，它们的长度相加。如果杆子用对数刻度标记，在对数刻度上数字是按照它们的对数间隔的，那么相应的数字相乘。例如，把一个杆上的1与另一个杆上的2放在一起。对于第一个杆上的任意x，我们发现第二个杆上是2x。所以相对于3，我们找到6，以此类推。如果数字更复杂，比如2.67和3.51，我们放置一个相对位置2.67，然后读出相对位置3.59的任何东西，即9.37。这很简单。

• 用计算尺乘2乘3

工程师们很快就开发出了带有三角函数、平方根、对数-对数尺（对数的对数）的奇妙计算尺来计算幂。最终，对数让位于数字计算机，但即使是现在，对数仍然在科学技术中发挥着巨大的作用，与之相伴的还有不可分割的指数函数。对于以10为底的对数，函数是10^x；对于自然对数，函数是e^x。如果你取一个数，取对数，然后取它的指数，你就得到了开始时的数。

既然有了计算机，为什么还需要对数呢？

2011年，日本东海岸附近发生了里氏9.0级的地震，引发了巨大的海啸，摧毁了一大片人口稠密的地区，造成大约2.5万人死亡。海岸上有一座核电站，福岛第一核电站。它由六个独立的核反应堆组成。海啸来袭时，有三架还在运行；另外三个反应堆已经暂时停止运行，它们的燃料已经被转移到反应堆外但反应堆建筑内部的水池中。

我不想在这里分析核能的优点或其他方面，但我确实想说明对数是如何回答一个重要问题的：你如何知道有多少放射性物质已经被释放，以何种形式，它们会在环境中停留多久，在什么地方可能是危险的？

放射性元素衰变，也就是说，它们通过核过程转化为其他元素，在转化过程中释放出核粒子。正是这些粒子构成了辐射。放射性水平随着时间的推移而下降，就像一个热物体的温度在它冷却时下降一样：呈指数级下降。所以，在适当的单位中，，t时刻的放射性水平N(t)符合这个方程

其中，N_0是初始水平，k是一个常数，这取决于所涉及的元素。更准确地说，它取决于我们所考虑的元素的哪种形式，或同位素。

测量放射性持续时间的一种简便方法是半衰期，这个概念于1907年首次提出。这是初始水平N_0下降到一半所需的时间。为了计算半衰期，我们解了这个方程

两边同时取对数。结果是

我们可以算出来，因为k是从实验中知道的。

半衰期是评估辐射持续时间的一种方便的方法。例如，假设半衰期为一周。然后材料放射辐射的原始速率在1周后减半，2周后下降到1 / 4，3周后下降到1 / 8，以此类推。它需要10周的时间下降到原来水平的千分之一，20周的时间下降到一百万分之一。

在常规核反应堆事故中，最重要的放射性产物是碘-131和铯-137。第一种可能导致甲状腺癌。碘- 131的半衰期只有8天，所以如果有合适的药物，它的危害很小，除非继续泄漏。标准的治疗方法是给人们服用碘片，以减少身体吸收的放射性物质的量，但最有效的治疗方法是停止饮用受污染的水。

铯-137则截然不同：它的半衰期为30年。放射性水平下降到初始值的百分之一大约需要200年的时间，所以它在很长一段时间内都是危险的。反应堆事故的主要实际问题是土壤和建筑物的污染。去污染在某种程度上是可行的，但昂贵。例如，土壤可以被移走，用手推车运走，并储存在安全的地方。但这会产生大量的低放射性废物。

放射性衰变只是纳皮尔和布里格斯的对数继续为科学和人类服务的许多领域中的一个。它们还会出现在热力学和信息论中。尽管现在快速计算机已经使对数在其最初的目的——快速计算上变得多余，但它们仍然是科学的核心，因为它们是概念上的，而不是计算上的。

对数的另一个应用来自于对人类感知的研究：我们如何感知周围的世界。知觉心理物理学的早期先驱们对视觉、听觉和触觉进行了广泛的研究，他们发现了一些有趣的数学规律。

19世纪40年代，德国医生恩斯特•韦伯进行了一项实验，以确定人类的感知能力有多敏感。他给受试者们一些砝码，让他们拿在手里，然后问他们什么时候能感觉到一个砝码比另一个更重。韦伯可以计算出最小的可检测的重量差异是什么。也许令人惊讶的是，这种差异并不是一个固定的数量。这取决于被比较的重量有多重。人们感觉不到最小的差别，比如50克。他们感觉到的是相对最小的差异，比如1%的权重。也就是说，人类感官所能检测到的最小差异与刺激，即实际的物理量成正比。

在19世纪50年代，古斯塔夫·费希纳重新发现了同样的定律，并在数学上重新定义了它。这导致他提出了一个方程，他称之为韦伯定律，但现在它通常被称为费希纳定律。它指出，感知到的感觉与刺激的对数成正比。实验表明，这一规律不仅适用于我们的重量感，也适用于视觉和听觉。如果我们观察一盏灯，我们所感知到的亮度随着实际能量输出的对数而变化。如果一个光源的亮度是另一个光源的十倍，那么无论这两个光源实际有多亮，我们感知到的差异都是恒定的。同样的道理也适用于声音的响度：能量十倍的爆炸声发出的声音是固定的。

韦伯-费希纳定律并不完全准确，但它是一个很好的近似。进化过程中需要用到对数尺度，因为外部世界给我们的感官带来的刺激有很大的范围。一种声音可能比一只老鼠在树篱间窜来窜去大不了多少，也可能是一声雷鸣；我们需要两者都能听到。但是声级的范围是如此之大，以至于没有任何生物感官设备能够根据声音产生的能量做出相应的反应。

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