二次函数知识点例题（二次函数考点分析）

二次函数的概念掌握二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2 bx c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2 bx c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．，下面我们就来聊聊关于二次函数知识点例题?接下来我们就一起去了解一下吧!

二次函数知识点例题

二次函数的概念

掌握二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2 bx c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2 bx c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．

已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2 bx c，其中二次函数的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据二次函数定义：一般地，形如y＝ax2 bx c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可．

【解析】②④是二次函数，共2个，故选：B．

【小结】此题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握y＝ax2 bx c（a、b、c是常数，a≠0）是二次函数，注意a≠0这一条件．

下列各式中，一定是二次函数的有（　　）

①y2＝2x2﹣4x 3；②y＝4﹣3x 7x2；③y3x 5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2 bx c；⑥y＝（n2 1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2x2 4x﹣3．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】整理一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．

【解析】①y2＝2x2﹣4x 3，不符合二次函数的定义，不是二次函数；

②y＝4﹣3x 7x2，是二次函数；

③y3x 5，分母中含有自变量，不是二次函数；

④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）＝6x2﹣13x 6，是二次函数；

⑤y＝ax2 bx c，含有四个自变量，不是二次函数；

⑥y＝（n2 1）x2﹣2x﹣3，含有两个自变量，不是二次函数；

⑦y＝m2x2 4x﹣3，含有两个自变量，不一定是二次函数．

∴只有②④一定是二次函数．故选：B．

【小结】本题考查二次函数的定义．解题的关键是掌握二次函数的定义和二次函数的一般形式．

若y＝（m2 m）xm2﹣2m﹣1﹣x 3是关于x的二次函数，则m＝　 　．

【分析】根据二次函数的定义求解即可．

【解析】由题意，得m2﹣2m﹣1＝2，且m2 m≠0，解得m＝3，

【小结】本题考查了二次函数，利用二次函数的定义是解题关键，注意二次项的系数不等于零．

函数y＝（m2﹣3m 2）x2 mx 1﹣m，则当m＝　 　时，它为正比例函数；当m＝　 　时，它为一次函数；当m　 　时，它为二次函数．

【分析】首先解方程，进而利用正比例函数、一次函数与二次函数的定义得出答案．

【解析】m2﹣3m 2＝0，则（m﹣1）（m﹣2）＝0，解得：m1＝1，m2＝2，

故m≠1且m≠2时，它为二次函数；当m＝1或2时，它为一次函数，当m＝1时，它为正比例函数；

故答案为：1；1或2；m≠1且m≠2

【小结】此题主要考查了一次函数与二次函数的定义，正确解方程是解题关键．

一次函数与二次函数图象

判断一次函数与二次函数图象的问题关键在于掌握数形结合的思想，通过图象可以逐一去判断一次函数及二次函数的系数关系．

一次函数y＝acx b与二次函数y＝ax2 bx c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B． C． D．

【分析】先由二次函数y＝ax2 bx c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx b的图象相比较看是否一致．

【解析】A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故不合题意；

B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；

C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意；

D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意．

故选：B．

【小结】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．

在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2 bx b（a≠0）与一次函数y＝ax b的图象可能是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．

【解析】A、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，

∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故A错误；

B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，

∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故B错误；

C、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，

∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故C正确；

∵D、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，

∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故D错误；

故选：C．

【小结】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．

已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2 bx与一次函数y2＝ax b的大致图象不可能是（　　）

A． B． C．D．

【分析】根据二次函数y＝ax2 bx与一次函数y＝ax b（a≠0）可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题．

【解析】解得或．

故二次函数y＝ax2 bx与一次函数y＝ax b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（，0）或点（1，a b）．

在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，0，a b＞0，故有可能；

在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象知，a＞0，b＜0，由|a|＞|b|，则a b＞0，有可能；

在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，a b＜0，故选项C有可能；

在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a b＜0，不可能；

故选：D．

【小结】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点．

下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y＝ax2 （a c）x c与一次函数y＝ax c的大致图象．正确的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点，可以判断哪个选项符合要求，从而解答本题．

【解析】令ax2 （a c）x c＝ax c，解得，x1＝0，x2，

∴二次函数y＝ax2 （a c）x c与一次函数y＝ax c的交点为（0，c），（，0），

选项A中二次函数y＝ax2 （a c）x c中a＞0，c＜0，而一次函数y＝ax c中a＜0，c＞0，不符题意，

选项B中二次函数y＝ax2 （a c）x c中a＞0，c＜0，而一次函数y＝ax c中a＞0，c＜0，两个函数的交点不符合求得的交点的特点，故选项B不符题意，

选项C中二次函数y＝ax2 （a c）x c中a＜0，c＞0，而一次函数y＝ax c中a＜0，c＞0，交点符合求得的交点的情况，故选项C符合题意，

选项D中二次函数y＝ax2 （a c）x c中a＜0，c＞0，而一次函数y＝ax c中a＞0，c＜0，不符题意，

故选：C．

【小结】本题考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

二次函数图象上点的坐标特征

二次函数图象上点的坐标特征，解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．

已知抛物线y＝ax2﹣2ax b（a＞0）的图象上三个点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）

A．y3＞y1＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1

【分析】求出抛物线的对称轴，求出A关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案．

【解析】y＝ax2﹣2ax b（a＞0），对称轴是直线x1，

即二次函数的开口向上，对称轴是直线x＝1，

即在对称轴的右侧y随x的增大而增大，

A点关于直线x＝1的对称点是D（3，y1），

∵2＜3＜4，∴y3＞y1＞y2，故选：A．

【小结】本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．

已知抛物线y＝ax2 bx﹣2（a＞0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1

【分析】由题意可知抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣1，然后根据点A（﹣2、y1）、B（﹣3，y2）、C（1，y2）、D（，y3）离对称轴的远近可判断y1、y2、y3大小关系．．

【解析】抛物线y＝ax2 bx﹣2（a＞0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（，y3）四点，

∴抛物线开口向上，对称轴为x1．

∵|﹣1﹣（﹣2）|＜|1 1|＜|1|∴y3＞y2＞y1，故选：D．

【小结】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．

若二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c的图象，过不同的六点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n 1）、D（，y1）、E（2，y2）、F（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　）

A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3

【分析】由解析式可知抛物线开口向上，点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n 1）求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．

【解析】∵二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c的图象过点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n 1），

∴抛物线的对称轴直线x满足5＜2x 1＜6，即2＜x＜2.5，抛物线的开口向上，

∴抛物线上离对称轴水平距离越大的点，对应函数值越大，

∵D（，y1）、E（2，y2）、F（4，y3），则y2＜y1＜y3，故选：D．

【小结】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到抛物线的对称轴和开口方向是解题的关键．

已知抛物线yx2﹣mx c（m＞0）过两点A（x0，y0）和B（x1，y1），若x0＜1＜x1，且x0 x1＝3．则y0与y1的大小关系为（　　）

A．y0＜y1 B．y0＝y1 C．y0＞y1 D．不能确定

【分析】由抛物线解析式可知开口向上，对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的性质判断即可．

【解析】∵抛物线yx2﹣mx c（m＞0）中，m＞0，

∴抛物线开口向上，对称轴为x1，

∵x0＜1＜x1，∴A点在对称轴的左侧，B点在对称轴的右侧，

若y0＝y1，则x1﹣1＝1﹣x0，此时x0 x1＝2，不合题意；

若y0＞y1，则x1﹣1＜1﹣x0，此时x0 x1＜2，不合题意；

若y0＜y1，则x1﹣1＞1﹣x0，此时x0 x1＞2，符合题意；

故选：A．

【小结】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由点到对称轴的距离与函数值的大小的关系是解题的关键．

二次函数图象与几何变换

解决二次函数图象与几何变换类型题，需要掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．

抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣3是由抛物线y＝﹣x2经过怎样的平移得到的（　　）

A．先向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位

C．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．先向左平移1个单位，再向上平移3个单位

【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．

【解析】原抛物线的顶点为（0，0），新抛物线的顶点为（1，﹣3），

∴是抛物线y＝﹣x2向右平移1个单位，向下平移3个单位得到，故选：C．

【小结】本题考查二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．

将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（　　）

A．y＝（x 1）2﹣13 B．y＝（x﹣5）2﹣5

C．y＝（x﹣5）2﹣13 D．y＝（x 1）2﹣5

【分析】先把抛物线y＝x2﹣4x﹣4化为顶点式的形式，再由二次函数平移的法则即可得出结论．

【解析】∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，

∴将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为y＝（x﹣2 3）2﹣8 3，即y＝（x 1）2﹣5．故选：D．

【小结】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”是解答此题的关键．

已知二次函数y＝（x 2）2﹣1向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数y＝（x 3）2﹣4，则h和k的值分别为（　　）

A．1，3 B．3，﹣4 C．1，﹣3 D．3，﹣3

【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．

【解析】∵抛物线y＝（x 2）2﹣1的顶点坐标是（﹣2，﹣1），则向左平移h个单位，再向下平移k个单位后的坐标为：（﹣2﹣h，﹣1﹣k），∴平移后抛物线的解析式为y＝（x 2 h）2﹣k﹣1．

又∵平移后抛物线的解析式为y＝（x 3）2﹣4．∴2 h＝3，﹣k﹣1＝﹣4，∴h＝1，k＝3，故选：A．

【小结】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．

将抛物线y＝（x﹣3）（x﹣5）先绕原点O旋转180°，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　）

A．y＝﹣x2﹣4x﹣3 B．y＝﹣x2﹣12x﹣35

C．y＝x2 12x 35 D．y＝x2 4x 3

【分析】先求出抛物线的解析式，先根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标，然后根据平移的性质求得平移后抛物线的顶点坐标；最后根据平移、旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可．

【解析】y＝（x﹣3）（x﹣5）＝（x﹣4）2﹣1．此时，该抛物线顶点坐标是（4，﹣1）．

将该抛物线绕坐标原点O旋转180°后的顶点坐标是（﹣4，1）．再向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（﹣2，1）．

所以此时抛物线的解析式为：y＝﹣（x 2）2 1＝﹣x2﹣4x﹣3．故选：A．

【小结】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．

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