与数学教育有关的内容（数学教育与数学文化）

作者 | 张顺燕（北京大学数学科学学院）

来源 | 本文原载于《数学通报》，2005年第44卷第1期. 感谢《数学教学》授权转载！

诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。入乎其内，故能写之，出乎其外，故能观之，入乎其内，故有生气，出乎其外，故有高致。

——王国维《人间词话》

1 数学的重要性

1.1当今形势

二次世界大战以后，数学与社会的关系发生了根本性的变化。数学已经深入到从自然科学到社会科学的各个领域。著名数学家A.Kaplan说：“由于最近20年的进步，社会科学的许多领域已经发展到不懂数学的人望尘莫及的阶段.”A.N.Rao更指出，一个国家的科学的进步可以用它消耗的数学来度量。70年代末，美国国家研究委员会正式提出，美国的扫盲任务已转变为扫数学盲。1989年，美国国家研究委员会发表《人人关心数学教育的未来》一书，书中重点强调：“我们正处在国家由于数学知识而变得在经济上和种族上都被分裂的危险之中.”并解释道：“··除了经济以外，对数学无知的社会和政治后果给美国民主政治的生存提出了惊恐的信号。因为数学掌握着我们的基于信息的社会的领导能力的关键，具有数学读写能力的人与不具有这种能力的人之间的差距越来越大，从种族和经济的范围上，其程度是惊人地一致。我们冒着变成一个分裂的国家的危险，其中数学知识支持着多产的、技术强大的精英阶层，而受赡养着、半文盲的成年人、不相称的西班牙人和黑人，却发现他们远远不具备经济和政治的能力。这必须纠正过来，否则没有数学基本能力的人和文盲将迫使美国崩溃。”

我们知道，语言的读写能力是非常重要的。一个文盲是没有读写能力的，或者只会写自己的名字。他很难在社会上找到重要的工作。现在数学的读写能力，也就是量的读写能力正在提到我们的眼前，现代社会的许多信息是用量的方式提供的；因而作为一个现代人，用量的方式去思维，去推理和判断成为一种基本能力。1999年美国出版了一本教材名叫“应用与理解数学”在此书的第三页列出了一张就业表，其中包含两种能力：英语与数学(表中只摘录了其中一部分)。

1.2 三个层次

整个人类文明的历史就像长江的波浪一样，一浪高过一浪，滚滚向前。科学巨人们站在时代的潮头，以他们的勇气、智慧和勤奋把人类的文明从一个高潮推向另一个高潮。我们认为，整个人类文明可以分为三个鲜明的层次。

1) 以锄头为代表的农耕文明；

2) 以大机器流水线作业为代表的工业文明；

3）以计算机为代表的信息文明。

数学在这三个文明中都是深层次的动力，其作用一次比一次明显。

数学在人类文明中一直是一种主要的文化力量.数学不仅在科学推理中具有重要的价值，在科学研究中起着核心的作用，在工程设计中必不可少。而且，在西方，数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法，摧毁和构造了诸多宗教教义，为政治学和经济学提供了依据，塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格，创立了逻辑学。作为理性的化身，数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，并成为其思想和行动的指南。

人类历史上的每一个重大事件的背后都有数学的身影：哥白尼的日心说，牛顿的万有引力定律，无线电波的发现，三权分立的政治结构，一夫一妻的婚姻制度，爱因斯坦的相对论，孟德尔的遗传学，巴贝奇的计算机，马尔萨斯的人口论，达尔文的进化论，达·芬奇的绘画，巴赫的12平均率，晶体结构的确定，双螺旋疑结的打开等都与数学思想有密切联系。

但是，要说清楚数学的中心作用，必须从根谈起，必须从古希腊谈起。

1.3 希腊文化小结

古希腊对数学的主要贡献是，

第一，对自然哲学的贡献.它留给我们一个坚强的信念：自然数是万物之母，即宇宙规律的核心是数学。这个信念鼓舞人们将宇宙间一切现象的终极原因找出来，并将它数量化。

第二，对数学科学的贡献.他们将数和形抽象化，并坚持演绎证明。这样，数学科学诞生了。并由此它孕育了一种理性精神，这种精神现在已经渗透到人类知识的一切领域。

第三，对数学内容的贡献。主要表现在以下三个方面：1)无理数的诞生引出了第一次数学危机，数学由此走上了公理化的道路.对数学的长远发展产生了深刻的影响。2)它给出一个样板——欧几里得几何。这个样板的光辉照亮了人类文化的每个角落；3)它研究了圆锥曲线，为日后天文学的研究和抛射体的研究奠定了基础。

2 素质教育

2.1素质教育统选课的特点

素质课的教学与通常数学课的教学有何不同？

首先：教学对象的差异大大地扩大了，学生来自全校不同的系，不同的年级，甚至还有研究生，追求不同，基础差异空前地大。

其次，教学内容的多元化。不再是单科讲授，对教师的要求提高了。

第三，必须考虑贯通教育.统选课必须考虑到从中学到大学的过渡，从专业教育到素质教育的过渡。

因而对素质教育统选课的教学内容，教学方法，教学规律应予探讨。

2.2 教学的指导思想

素质教育课在文化这一更加广阔的背景下讨论数学的发展，数学的作用以及数学的价值，从历史的文化的和哲学的高度鸟瞰数学的全貌。

首先是历史的.如果我们不知道我们从哪里来，那么我们也就不知道到哪里去。而且，“一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧”。所以我们要讲一点历史.并且，将力量集中在划时代学科的诞生与重要概念的发展上，考察数学科学的演变，并给出评价与展望，而不去过多地涉及细节。

其次，我们要讲述数学与各种文化的交互影响，从中认识到数学是理解当今世界的一把大钥匙，任何学科都离不开它。并将阐述数学与人文科学的联系。因为目前这方面的论述比较少。同时也讲述其他科学对数学发展的影响。

第三是哲学的.我们要贯穿一种探索精神，研究治学之道。我们知道，正确的思考比正确的结论更重要。通过素质课，我们和学生一起研究如何构建自己的知识结构。

2.3 留心三个方面

素质课与一般课确有差别，我们要注意到下面提到的三个层面，处理好这一对矛盾，追求真善美。

2.3.1 三个层面

数学有三个层面：作为理论思维的数学；作为技术应用的数学；作为文化修养的数学。这三个层次对不同的人有不同的含义和不同的用场。从事数学研究的人，以理论层面为主，强调归纳与演绎.从事工程的人以技术层面为主，强调应用与计算。从事人文科学的人以文化层面为主，强调数学与其他学科的联系，强调数学在人类文明中的作用。

2.3.2 知识与智慧

教育的本质是培养学生运用知识的艺术：教育的中心问题是如何使知识保持活力，使学生在知识增加的同时，智力获得同步增长。这就是古人讲的“积学以储宝，酌理以富才”。教师应当是思想活跃的“活人”，而不是被书本牵着走的机器。传授知识是课程的目标之一，但课程还有更重要的目标——开发智力，增加智慧。没有知识作基础，人不可能聪明；但有很多知识也可以不聪明，智慧是掌握知识的方法.教育与工厂不同，工厂处理死的物质，教育是开发人的心智。怀特海说：“把人当作工具是教育理论中最致命、最危险、最错误的概念之一。”

2.3.3 科学、应用和艺术——真善美

一个完整的素质教育统选课应包含三个方面：科学、应用和艺术。科学在于求真，培养学生追求真理的勇气，求实的精神和严密的逻辑思维能力和创新的能力。应用在于培养学生活用知识的能力，使他们能在自己的专业中使用数学的思想和方法，掌握量的思维方式。艺术的作用在于培养学生的想象力、审美力和创造力，并使学生拥有丰富的个性。

3 数学教学

3.1 实现四结合

3.1.1 历史与逻辑相结合

数学的历史发展与本身的逻辑体系不是一回事。例如，微积分的讲授顺序是：实数——极限—— 微商 —— 积分。这与微积分的发展史恰恰相反，讲清这对矛盾的关系，有助于理解数学的本质。

3.1.2 数与形相结合

数学的两大主干是几何与代数，提供了两种不同的思维方式，其特点为

几何：空间形式的科学，视觉思维占主导，培养直觉能力，培养逻辑推理能力，培养洞察力；

代数：数量关系的科学，有序思维占主导，培养符号运算能力。

认清几何与代数的基本特征对学好以后的课会有很大帮助.讲数学课，应当将数和形结合起来，使两种思维的优点都能发挥出来。

关于数和形的关系，华罗庚先生写过一首词：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。

数缺形时少知觉，形少数时难入微.

数形结合百般好，隔离分家万事非.

切莫忘，几何代数统一体，

永远联系，切莫分离.

例1. 自然数的平方和

由图1，数底边的点子数和垂直边的点子数，得到

由此可算出

把这个方程推广到n是任意的情况，得到

由此可算出

例2解析几何与线性代数有密切的联系，把它们结合起来讲会有很大好处。解析几何中的三张平面对应于代数中的三元一次联立方程组。三张平面有唯一交点对应于代数中的三元一次联立方程组有唯一解。三张平面有唯一交点的条件是三张平面的三个法向量不共面，它对应于代数中的三元一次联立方程组的系数行列式不为0。讲课时将它们结合起来，会使学生了解得深、透，并且容易记忆。同时，体现了数学科学的统一性与协调性.展示了数学的和谐美.我们可以用一首唐诗来描述这种和谐。

寄韬光禅师

白居易

一山门作两山门，两寺原从一寺分.

东涧水流西涧水，南山云起北山云.

前台花发后台见，上界钟声下界闻.

遥想吾师行道处，天香桂子落纷纷.

3.1.3 理论与应用相结合

课上既讲理论又讲应用，要求学生既学理论又自己找应用.我们增加了数学与人文科学的结合，数学与艺术的结合，因为这方面的应用过去讲得少。例如，在课上我们介绍了数学与西方政治，透视画与射影几何，音乐之声与傅立叶分析等有关应用，学生对这些内容十分感兴趣。课后学生结合自己的专业写出了很好的论文：将你的心灵数字化(心理系)：数学在语言学中的应用(英文系)，数学分析在国际关系中的应用(国际关系学院)；地图、数学、数字地球(地球与空间科学学院)等。

例3 自然数的平方和。

先让我们来构筑这样的一个点阵：

在距原点O长度为1处放置1个单位质量的质点，在长度为2处放置2个单位质量的质点……在距原点长度为n处放置n个单位质量的质点。则该点阵相对于原点的重力矩为

又因为三角形的重心在底边所对应的中线上，且距顶点的距离为中线长度的2/3.所以上图所示的三角形点阵的重心距原点的水平距离为

，

而点阵的总质量为，所以

,

即

3.1.4科学结论与方法论相结合

具体到数学上，科学结论就是定理，科学方法就是怎样发现定理，怎样证明定理，怎样理解定理，怎样推广定理和怎样应用定理.证明定理主要用演绎法。发现定理和推广定理主要用到归纳和类比.将科学结论与方法相结合起来才会使学生建立完整的知识结构。

3.2 培养四种本领

3.2.1以简驭繁

我们主要讲笛卡儿的方法·在科学史上做出创造性工作的科学家很多。但是，他们的创造性工作是如何完成的呢？如何做就能得到创造性的成果呢？迄今为止，对这些问题进行过深刻地自我反省，并将自己的观察结果留给后人的情况几乎没有。笛卡儿对这些问题的自我考察作为非常珍贵的资料保存了下来。

笛卡儿是近代思想的开山祖师，他所处的时代正是近代科学革命的开始，是一个涉及到方法的伟大时期，在这个时代，人们认为，发展知识的原理和程序比智慧和洞察力更重要。方法容易使人掌握，而且一旦掌握了方法，任何人都可以作出发现或找到新的真理。这样，真理的发现不再属于具有特殊才能或超常智慧的人们，笛卡儿在介绍他的方法时说：“我从来不相信我的脑子在任何方面比普通人更完善.”

他列出四条原则。这四条是最先完整表达的近代科学的思想方法.其大意是：

1)只承认完全明晰清楚，不容怀疑的事物为真实；

2)分析困难对象到足够求解的小单位；

3)从最简单、最易懂的对象开始，依照先后次序，一步一步地达到更为复杂的对象；

4)列举一切可能，一个不能漏过.

这四大原则对研究任何一门学科都有不容忽视的指导作用.笛卡儿一针见血地指出：“不可以从庞大暖昧的事物中，只可以从最容易碰见的容易事物中演绎出最隐秘的真知本身”。他还说：“当我们运用心灵的目光的时候，正是把它同眼睛加以比较的，因为想一眼尽收多个对象的人是什么也看不清楚的，同样，谁要是习惯用一次思维行动同时注意多个事物，其心灵也是混乱的.”所以当我们进行一项科学研究时，必须首先明确我们的目标，然后把研究对象分成若干环环相扣的简单事物，在理性之光的指引下，找到这些细分小单位的由简至繁的顺序，最后从最直观，最简单的对象入手，依照一条条理清晰的道路直捣真理之本蒂。总之，笛卡儿给出一条由简入繁的路，告诉我们如何以简驭繁.用老子的话总结，就是“天下之难作于易，天下之大作于细”。

3.2.2审同辩异，即同中观异，异中观同

异中观同就是抓住本质，抓住共性.领域不管相隔多远，外表有多大不同，实质可能是一样的。实质认的越清楚，作出新发明的可能就越大。例如，庞加莱对Fuchs群的研究，高斯对数论的研究。最近的例子是，1998年8月号的《科学的美国人》刊登了阿德尔曼的一篇文章《让DNA作计算》。

阿德尔曼写道：“我正躺着叹服于这个令人惊奇的酶，并且突然为它们与图灵发明的机器之相似而大为震动”。想到这一点使他“彻夜难眠，想办法让DNA作计算。”这就是DNA计算机的发明。

另一方面是同中观异。恩格斯说：“从不同观点观察同一对象···殆已成为马克思的习惯.”法国雕塑家罗丹说：“所谓大师就是这样的人。人们用自己的眼睛去看别人见过的东西，在别人司空见惯的东西上能够发现出美来”尼采说：“独创性——并不是首次观察某种新事物，而是把旧的、很早就已知的、或者人人都视而不见的事物当作新事物观察.这才证明是真正有独创性的头脑”。所以必须训练自己的观察力和对事物的敏感度，否则只能停留在常人水平。例如，对方程式

如何看？我想至少有三种看法：

毕达哥拉斯：面积关系。在直角三角形上，两直角边上的正方形的面积之和等于斜边上正方形的面积。

费马：不定方程。数组3，4，5和5，12，13都满足此方程。

笛卡儿：二次曲面。

3.2.3判美析理

这四个字取自庄子的“判天地之美，析万物之理”。

析理。讲析理一要讲好定理，二要分析概念。前面讲了定理，这里讲概念。讲概念除了讲一个概念的内涵和外延外，如果必要，还应该讲一点概念史。例如，在解释函数定义时(即讲函数的外延)常使用狄里赫勒函数。这个函数一无图形，二无公式。它的意义何在?这个函数恰恰是从古典分析到现代分析的转折点。在此以前，数学家发现或创造函数是为了研究客观世界，狄里赫勒函数不是，它不反映任何客观规律。这是学生在学微积分时遇到的第一个怪函数，怪在什么地方？为什么要研究它？把这些问题说清楚了，学生对函数概念的本质，乃至数学的本质都会有新的理解。

这里顺便提提Atiyah给数学下的一个定义：数学是一门艺术，是一门发展概念和技巧以使人们更为轻快地前进，从而避免蛮力计算的艺术。

判美.析理讲好了，判美自然就出来了。数学理论体现了真与美的结合。希腊箴言说，美是真理的光辉。因而追求美就是追求真.著名物理学家海森堡说：“当大自然把我们引向一个前所未见的和异常美丽的数学形式时，我们不得不相信它们是真的，它们揭示了大自然的奥秘。”著名数学家魏尔说：“我的工作总是尽力把真和美统一起来，但当我必须在两者中挑选一个时，我通常选择美。”美常常是科学研究的第一标准。

3.2.4鉴赏力

鉴别真与假，好与坏，美与丑，重要与不重要，基本与非基本，非常重要。有鉴别力的学生会区分主次，自然学得好.鉴赏力可以在教学过程中逐渐加以培养.如何培养？前面几条都起作用。在数学课程的讲述中，加强“点评”。使学生

1)理解数学的概念和原理；

2)理解数学的探究过程；

3)理解数学与一般文化的关系；

4)理解数学的用场。

弄花香满衣，点评得好，鉴赏力就在其中了。

3.3数学的教育价值

首先，数学的抽象性帮助我们抓住事物的共性和本质。例如，建立数学模型的过程就是一个科学抽象的过程。它要求人们善于把问题中的次要因素、次要关系、次要过程先撇在一边，抽出主要因素、主要关系和主要过程，而后化为一个数学问题。这种方法可以用于数学以外。

此外，数学的抽象性使得数学问题的解决伴随着困难。在解决数学问题的过程中，使学生体验到挫折和失败，而这正是砥砺意志打磨心理品质的绝好时机.愈挫愈奋，百折不挠的良好心理素质不会在温室中形成。如果学生在学校里没有尝尽为求解问题而奋斗的喜怒哀乐，那么数学教育就在一个重要的地方失败了。

其次，数学赋予知识以逻辑的严密性和结论的可靠性。爱因斯坦说：“为什么数学比其它一切科学受到特殊的尊重？一个理由是，它的命题是绝对可靠的和无可争辩的，而其它一切科学的命题在某种程度上都是可争辩的，并且经常处于被新发现的事物推翻的危险之中.···数学之所以有高声誉，还有一个理由，那就是数学给精密自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的.”

数学的严密性和精确性可以使学生在将来的工作中减少随意性。英国律师至今要在大学中学习许多数学知识，并不是律师工作要多少数学，而是出于这样一种考虑：经过严格的数学训练可以使人养成一种独立思考而又客观公正的办事风格和严谨的学术品格。数学教育是培养学生诚信观念的重要渠道之一。在数学课上形成的诚信观是持久的，根深蒂固的；前苏联的数学家辛钦说：“数学教学一定会慢慢地培养青年人树立起一系列具有道德色彩的特性，这种特性中包括正直和诚实.”

再次，数学是思想的体操。进行数学推导和演算是锻炼思维的智力操。这种锻炼能够增强思维本领，提高抽象能力、逻辑推理能力和辨证思维能力，培养思维的灵活性和批判性。思维的灵活性表现在不受思维定式的束缚，能迅速地调整思维方向，善于从旧的或传统的思维轨道上跳出来，另辟蹊径。数学中的一题多解是培养思维灵活性的有效途径。思维的批判性指，对论证和解答提出自己的看法。数学中常用的反证法和构造反例是思维批判性的具体表现。

数学不仅仅是一种工具，它更是一个人必备的素养.它会影响一个人的言行、思维方式等各个方面。一个人，如果他不是以数学为终生职业，那么他的数学素养并不只表现在他能解多难的题，解题有多快，数学能考多少分，关键在于他是否真正领会了数学的思想，数学的精神，是否将这些思想融会到他的日常生活和言行中去。日本的米山国藏说：“我搞了多年的数学教育，发现学生们在初中、高中接受的数学知识因毕业进入了社会后，几乎没有什么机会应用这些作为知识的数学，所以通常是出校门不到一、两年就很快忘掉了.然而，不管他们从事什么业务工作，惟有深深铭刻于头脑中的数学精神，数学的思维方法、研究方法和着眼点等，都随时随地发生作用，使他们受益终生.”

数学还有另外的作用。数学家狄尔曼说：“数学能集中、强化人们的注意力，能够给人以发明创造的精细和谨慎的谦虚精神，能够激发人们追求真理的勇气和信心，···数学更能锻炼和发挥人们独立工作精神.”

N.布特勒说：“现代数学，这个最令人惊叹的智力创造，已经使人类心灵的目光穿过无限的时间，使人类心灵的手延伸到了无边无际的空间。”

数学已成为现代人的基本素养。(未完待续)

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