一元二次方程难学吗（总说二元一次方程不好学）

经常听到有童鞋抱怨7年级的二元一次方程不好学，其实归根结底就是对一元一次方程掌握程度不深，因为一元一次方程就是在为你学习二元一次方程打基础的。尽管如此，你们也不必担心，数学加小编今天就带着你们再次领率一遍一元一次方程，巩固你们的后防线！

一元一次方程

一、基础知识点及定义：

1.等式与等量:用“=”号连接而成的式子叫等式.注意:“等量就能代入”！

随手一试：根据下面的条件能列出方程的是:（ ）

C.a、b之和的60 D.甲的3倍与乙的2倍之差

2.等式的性质：

等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍

是等式；

随手一试：(1)下列变形正确的是（ ）

A.若x=y，则x 2m=y 2m B.若a=b，则a c=b﹣c

(2)已知ax=ay，下列等式中成立的是（ ）

A.x=yB.ax 1=ay﹣1C.ax=﹣ayD.3﹣ax=3﹣ay

3.方程：含未知数的等式，叫方程.

其中是方程的个数为（ ）

A.3 B.4C.5D.6

4.一元一次方程的概念：只含有一个未知数(含未知数项的系数不是零)且

未知数的指数是1(次)的整式方程叫做一元一次方程。一般形式：ax b=0

(x是未知数，a、b是已知数，且a≠0).最简形式：ax=b(x是未知数，ab是

已知数，且a≠0).

随手一试:(1)下列方程中，是一元一次方程的为（ ）

A.2 B.3 C.4 D.7

(3)已知（a 1）x2﹣(a﹣1)x 8=0是关于x的一元一次方程，求代数式

60（2x 2a）(x﹣a) 208的值．（ ）

A.208 B.-208 C.2008 D.-2008

5.解一元一次方程

方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；注意：

“方程的解就能代入”验算！

解方程：求方程的解的过程叫做解方程。

等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍

是等式；

等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数，所得结果仍是等式；

(例题解析)x=﹣2是下列（ ）方程的解．

解析：A.把x=﹣2代入方程得：左边=﹣10 7=﹣3，右边=7﹣4=11，左边≠右

边，即x=﹣2不是方程的解；

B.把x=﹣2代入方程得：左边=﹣12﹣8=﹣20，右边=﹣16﹣4=﹣20，左边=右

边，即x=﹣2是方程的解；

C.把x=﹣2代入方程得：左边=﹣6﹣2=﹣8，右边=4﹣2=2，左边≠右边，

即x=﹣2不是方程的解；

即x=﹣2不是方程的解，

故选B．

随手一试：如果2x 3=5，那么6x 10等于（ ）

A.15B.16C.17D.34

6.移项

移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的

变形叫做移项.

移项依据:(1)移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1；

(2)系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2.

移项作用：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含

未知数的项合并，右边对常数项合并.

注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。

随手一试：下列方程变形中，正确的是（ ）

A.方程3x﹣2=2x 1，移项，得3x﹣2x=﹣1 2

B.方程3﹣x=2﹣5(x﹣1)，去括号，得3﹣x=2﹣5x﹣1

7.解一元一次方程的一般步骤：整理方程、去分母、去括号、移项、合并同

类项、未知数的系数化为1；(检验方程的解).

注意：去分母时不可漏乘不含分母的项。分数线有括号的作用，去掉分母后，

若分子是多项式，要加括号.

（例题解析）方程3x 2(1﹣x)=4的解是（ ）

分析：方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解

解：去括号得：3x 2﹣2x=4，

解得：x=2，

故选C．

A.1﹣3(x﹣2)=2(x 1) B.6﹣2(x﹣2)=3(x 1)

C.6﹣3(x﹣2)=2(x 1) D.6﹣3x﹣6=2x 2

经过上面的尝试，现在来解解下面几个方程吧，相信你一定可以的

4x-3(20-x)=6x-7(9-x) 4x-3=4-2x

8.用方程解决问题

列一元一次方程解应用题的基本步骤：审清题意、设未知数(元)、列出方

程、解方程、写出答案。关键在于抓住问题中的有关数量的相等关系，列

出方程.

解决问题的策略：利用表格和示意图帮助分析实际问题中的数量关系

(例题分析)：一个饲养场里的鸡的只数与猪的头数之和是70，鸡、猪的腿

数之和是196，求鸡的只数？

审题：关于鸡兔同笼相关问题：已知鸡与猪的头数之和以及两

者腿数之和.

设未知数：设鸡的只数是x，则猪的头数为(70﹣x)头，根据鸡、猪

的腿数之和是196，列方程．

列方程：解：设鸡的只数是x，则猪的头数为(70﹣x)头，

由题意得，2x 4(70﹣x)=196．

解方程： 2x 4(70-x)=196

解：

去括号，得： 2x 280-4x=196

移项，得： 2x-4x=196-280

合并同类项，得： -2x=-84

系数化为1，得： x=42

答： 鸡的只数是42只.

随手一试：（1）某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均

用电量减少2000度，全年用电量15万度．求上半年每月平均用电量？

*（2）中国古代问题：有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，

我的羊数就是你的羊数的2倍”．乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，

我们羊数就一样了”．求甲有多少只羊？

9.列一元一次方程解应用题：

读题分析法：多用于“和、差、倍、分”等问题

仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大、小、多少、是、共、

合、为、完成、增加、减少、配套”之类的，利用这些关键字列出文字等式，

并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得

到方程.

(例题分析): 某车间原计划13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，

用了12小时 不但完成任务，而且还多生产60件，设原计划每小时生产x件

零件，则所列方程为（ ）

A.13x=12(x 10) 60B.12(x 10)=13x 60

分析：首先理解题意，找出题中存在的等量关系：实际12小时生产的零件数

=原计划13小时生产的零件数 60，根据此等式列方程即可．

解：设原计划每小时生产x个零件，则实际每小时生产(x 10)个零件．

根据等量关系列方程得：12(x 10)=13x 60．

故选B

随手一试：(1)某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共2000件．

已知捐给甲校的矿泉水件数比捐给乙校件数的2倍少400件．设该企业捐给

乙校矿泉水x件，则下列相等关系成立的是（ ）

A．2x﹣400=2000 B．2x 400=2000

C．2x﹣400=2000﹣xD.2x 400=2000﹣x

(2)某班共有学生x人，其中男生人数占35%，那么女生人数是（ ）

画图分析法:多用于“行程问题”

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照

题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是

解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可

把未知数看做已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础.

(例题分析)：小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10分钟，

每小时骑12km就会迟到5分钟，问他家到学校的路程是多少km？设他家到学

校的路程是xkm，则据题意列出的方程是（ ）

分析：设他家到学校的路程是xkm，根据每小时骑15km，可早到10分钟，

每小时骑12km就会迟到5分钟，列方程即可

解：设他家到学校的路程是xkm，

故选B．

随手一试:一艘货船从甲岸顺流而下到达乙岸再返回，已知船在静水中的速

度是40km/h，水流速度是10km/h，且从甲岸顺流到达乙岸比从乙岸逆流到达

甲岸所花的时间少1h．设从甲岸到达乙岸的路程为xkm 下列所列方程正

确的是（ ）

10.实际问题的常见类型：

(1)行程问题：包括[相遇、追及(同时不同地出发、同地不同时出发)]

(单位：路程—米、千米；时间—秒、分、时；速度—米／秒、米／分、

千米／小时)

(例题分析)某人从家里骑自行车到学校．若每小时行15千米，可比预定的时

间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定的时间晚到15分钟；求从家里到

学校的路程有多少千米？

分析：找出合适的等量关系，由题意可知，此人不管以多大的速度到达学校路

解：设从家到学校有x千米，

12x 45=20x﹣45

8x=90

解得， x=11.25

答：从家里到学校的路程有11.25千米．

随手一试：甲、乙两人绕湖竞走，绕湖一周4000m，乙的速度是80m/min，

（例题分析）某项工作甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，若甲先做1天，

然后甲，乙合作完成此项工作，求甲一共做了多少天？

分析：首先要理解题意找出题中存在的等量关系：甲完成的工作量 乙完成

的工作量=总的工作量，根据题意我们可以设总的工作量为单位“1“，

根据效率×时间=工作总量的等式，分别用式子表示甲乙的工作量即可列出

方程．

解：设甲一共做了x天，则乙一共做了(x﹣1)天．

随手一试:某工程，甲单独做12天完成，乙单独做8天完成．现在由甲先做3

天，乙再参加做，求完成这项工程乙还需要几天？

（例题分析）某种商品的进价为每件180元，现按标价的九折销售时，利润率

为15.2%，求这种商品的标价为多少元？

分析：设这种商品的标价为每件x元，根据按标价的九折销售为0.9x，利润率

解：设这种商品的标价为每件x元，

由题意得，0.9x﹣180=180×15.2%．

解得：x=230.4

答：这种商品的标价为230.4元.

随手一试:(1)某商人一次卖出两件衣服，一件赚了15%，另一件赔了15%，售

价均为1955元，则在这次生意中商人是赔了还是赚了？

(2)某电器按成本价提高30%后标价，再打八折销售，售价为2080元．求该电

器的成本价为多少元？

（例题分析）李明五年前存了一份3000元的教育储蓄，今年到期时的本利和

为3600元，请你帮李明算一算这种储蓄的年利率.

即可列出相关方程求解.

解：设年利率为x.

由题意得， 3000 3000×x×5=3600

解得， x=0.04

答；年利率为4％.

随手一试：小张以两种形式储蓄了500元，第一种的年利率为3.7%，第二种

的年利率为2.25%,一年后得到利息为15.6元，那么小张以这两种形式储蓄的

钱数分别是多少？

（例题解析）某种酒精溶液里纯酒精与水的比例为1︰2，现在加进纯酒精120g

后配成浓度为75%的酒精溶液，问原有酒精溶液多少克？

出方程.

设原来有酒精溶液为xg,则现在的酒精溶液为（x 120）g，水为2x.

解：设原来有酒精溶液为xg,

解得， x=24

答：原来有酒精溶液为24g.

随手一试：一收割机收割一块麦田，上午收割了麦田的25%，下午收割了剩

下麦田的20%，结果剩下6公顷麦田未收割，这块麦田一共有多少公顷？

(6)顺逆流(顺逆风)问题：顺流速度=静水速度 水流速度，

逆流速度=静水速度-水流速度：

（例题解析）轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若

船速为26千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米？

分析：轮船沿江从A港顺流行驶到B港，则由B港返回A港就是逆水行驶，由于

船速为26千米/时，水速为2千米/时，则其顺流行驶的速度为26 2=28千米/时，

逆流行驶的速度为：26﹣2=24千米/时．根据“轮船沿江从A港顺流行驶到B港，

比从B港返回A港少用3小时”，得出等量关系：轮船从A港顺流行驶到B港所用

的时间=它从B港返回A港的时间﹣3小时，据此可列出方程

解：设A港和B港相距x千米，可得方程：

答：AB两港相距504千米.

随手一试：一架飞机在A，B两城间飞行，顺风要5.5小时，逆风要6小时，

风速为24千米/小时．求A、B两城之间的距离？

(7)等积变形问题：长方体的体积=长×宽×高； 圆柱的体积=底面积×高；

（例题解析）有一块棱长为4厘米的正方体铜块，要将它熔化后铸成长4厘米、

宽2厘米的长方体铜块，铸成后的铜块的高是多少厘米（不计损耗）？

分析：本题涉及到等积变形，即：锻造前的体积=锻造后的体积 为出发点，

熔铸前的正方体体积与熔铸后的长方体体积相等。

解：设铸成后铜块高度为x.

4×4×4=4×2×x

解得， x=8

答：铸成后铜块高度为8cm.

随手一试：一个长方形的周长为36厘米，若长减少4厘米，宽增加2厘米，长

方形变成正方形，求正方形的边长？

(8)周长、面积、体积问题：

(例题解析)如图，矩形ABCD被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积

等于1，则矩形ABCD的面积大小？

解：∵最小正方形的面积等于1，

∴最小正方形的边长为1，

设右下角的正方形的边长为x．

∴AB=x 1 (x 2)=2x 3，BC=2x (x 1)=3x 1，

∵最大正方形可表示为2x﹣1，也可表示为x 3，

∴2x﹣1=x 3，

解得x=4，

∴AB=11，BC=13，

∴矩形的面积为11×13=143，

答：矩形ABCD的面积为143.

随手一试：在矩形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图

所示，求小长方形的宽AE？

二、(附加)含字母系数的方程与绝对值方程

<一>含字母系数的方程

1.关于x的方程ax=b

(2)当a=0,b≠0时，方程无解；

(3)当a=0,b=0时，方程有无数个解，且解为任意数；

A.x=0B.x=1C.x为任意数D.原方程无解

解：2(x-1) 6=3(x 1)-(x-1)

2x-2 6=3x 3-x 1

2x-3x x=3 1 2-6

0•x=0

∴原方程有无穷多解，x为任意数.

随手一试：解关于x的方程mx-m=nx

2.理解同解方程的定义，再解题：

(1)同解方程的定义为：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫同解方

程；反之如果两个方程是同解方程，那么这两个方程的解是一样的；例如

x 1=4与x 51=54的解都是x=3，这两个方程是同解方程；

且这两个方程的解相同，求它们的解．（）

分析：分别将两个关于x的方程解出来，得到两个用含a的代数式表示的解，

根据同解方程的定义，列出等式，建立一个关于a的方程，然后解答．

∵由于①和②是同解方程

解得： a=2

把a=2代入4x﹣a=1得：4x﹣2=1，

随手一试：若关于x的方程2x﹣4=3m和x 2=m有相同的解，则m的值是（ ）

A.10B.﹣10C.8D.﹣8

<二>绝对值方程

归纳1

解可化为|x|=a(a≥0)的绝对值的方程，只需把|x|看成一个整体，其余解题

步骤与解一元一次方程相同

（例题分析）19-|x|=100-10|x|

解：-|x| 10|x|=100-19

9|x|=81

|x|=9

x=±9

归纳2

对于形如|ax b|=c(a≠0,a、b、c为常数)的方程，有下列三种情况：

(1)c>0,ax b=±c可求得两个解.

(3)c<0,无解.

（例题解析）|2x 3|=5

解：由绝对值的意义知，|2x 3|=5

即是 2x 3=±5

由2x 3=5，解得x=1

由2x 3=-5，解得x=-4

(2)解方程|3x 2|=10，方程的解为（ ）

归纳3

对一次方程|ax b|=cx d,可将它变为ax b=±(cx d),并且检验cx d≥0来求

解(注意检验)

（例题解析）解方程：|3x 2|=5x-10

解：(解法一)当3x 2 ≥0时，原方程化为 3x 2=5x-10,

解得，x=6.

当3x 2 <0时，原方程化为 -(3x 2)=5x-10,

解得，x=1.

经检验，x=6位原方程的解.

(解法二) 有绝对值的意义知，|3x 2|=5x-10

即是，3x 2=5x-10 或 3x 2=-(5x-10)

其中，5x-10≥0

分别解这两个方程得：x=6或x=1

经检验，x=6位原方程的解

随手一试：

解方程 |4x-3|-2=3x a(其中|3a-5 4|=8)

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