一元二次方程难学吗(总说二元一次方程不好学)

经常听到有童鞋抱怨7年级的二元一次方程不好学,其实归根结底就是对一元一次方程掌握程度不深,因为一元一次方程就是在为你学习二元一次方程打基础的。尽管如此,你们也不必担心,数学加小编今天就带着你们再次领率一遍一元一次方程,巩固你们的后防线!

一元二次方程难学吗(总说二元一次方程不好学)(1)

一元一次方程

一、基础知识点及定义:

1.等式与等量:用“=”号连接而成的式子叫等式.注意:“等量就能代入”!

随手一试:根据下面的条件能列出方程的是:( )

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C.a、b之和的60 D.甲的3倍与乙的2倍之差

2.等式的性质:

等式性质1:等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍

是等式;

随手一试:(1)下列变形正确的是( )

A.若x=y,则x 2m=y 2m B.若a=b,则a c=b﹣c

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(2)已知ax=ay,下列等式中成立的是( )

A.x=yB.ax 1=ay﹣1C.ax=﹣ayD.3﹣ax=3﹣ay

3.方程:含未知数的等式,叫方程.

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其中是方程的个数为( )

A.3 B.4C.5D.6

4.一元一次方程的概念:只含有一个未知数(含未知数项的系数不是零)且

未知数的指数是1(次)的整式方程叫做一元一次方程。一般形式:ax b=0

(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0).最简形式:ax=b(x是未知数,ab是

已知数,且a≠0).

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随手一试:(1)下列方程中,是一元一次方程的为( )

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A.2 B.3 C.4 D.7

(3)已知(a 1)x2﹣(a﹣1)x 8=0是关于x的一元一次方程,求代数式

60(2x 2a)(x﹣a) 208的值.( )

A.208 B.-208 C.2008 D.-2008

5.解一元一次方程

方程的解能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解;注意:

“方程的解就能代入”验算!

解方程求方程的解的过程叫做解方程。

等式性质1:等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍

是等式;

等式性质2:等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数,所得结果仍是等式;

(例题解析)x=﹣2是下列( )方程的解.

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解析:A.把x=﹣2代入方程得:左边=﹣10 7=﹣3,右边=7﹣4=11,左边≠右

边,即x=﹣2不是方程的解;

B.把x=﹣2代入方程得:左边=﹣12﹣8=﹣20,右边=﹣16﹣4=﹣20,左边=右

边,即x=﹣2是方程的解;

C.把x=﹣2代入方程得:左边=﹣6﹣2=﹣8,右边=4﹣2=2,左边≠右边,

即x=﹣2不是方程的解;

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即x=﹣2不是方程的解,

故选B.

随手一试:如果2x 3=5,那么6x 10等于( )

A.15B.16C.17D.34

6.移项

移项:方程中的某些项改变符号后,可以从方程的一边移到另一边,这样的

变形叫做移项.

移项依据:(1)移项实际上就是对方程两边进行同时加减,根据是等式的性质1;

(2)系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除,根据是等式的性质2.

移项作用:移项时一般把含未知数的项向左移,常数项往右移,使左边对含

未知数的项合并,右边对常数项合并.

注意:移项时要跨越“=”号,移过的项一定要变号。

随手一试:下列方程变形中,正确的是( )

A.方程3x﹣2=2x 1,移项,得3x﹣2x=﹣1 2

B.方程3﹣x=2﹣5(x﹣1),去括号,得3﹣x=2﹣5x﹣1

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7.解一元一次方程的一般步骤:整理方程、去分母、去括号、移项、合并同

类项、未知数的系数化为1;(检验方程的解).

注意:去分母时不可漏乘不含分母的项。分数线有括号的作用,去掉分母后,

若分子是多项式,要加括号.

(例题解析)方程3x 2(1﹣x)=4的解是( )

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分析:方程去括号,移项合并,把x系数化为1,即可求出解

解:去括号得:3x 2﹣2x=4,

解得:x=2,

故选C.

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A.1﹣3(x﹣2)=2(x 1) B.6﹣2(x﹣2)=3(x 1)

C.6﹣3(x﹣2)=2(x 1) D.6﹣3x﹣6=2x 2

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经过上面的尝试,现在来解解下面几个方程吧,相信你一定可以的

4x-3(20-x)=6x-7(9-x) 4x-3=4-2x

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8.用方程解决问题

列一元一次方程解应用题的基本步骤:审清题意、设未知数(元)、列出方

程、解方程、写出答案。关键在于抓住问题中的有关数量的相等关系,列

出方程.

解决问题的策略:利用表格和示意图帮助分析实际问题中的数量关系

(例题分析):一个饲养场里的鸡的只数与猪的头数之和是70,鸡、猪的腿

数之和是196,求鸡的只数?

审题:关于鸡兔同笼相关问题:已知鸡与猪的头数之和以及两

者腿数之和.

设未知数:设鸡的只数是x,则猪的头数为(70﹣x)头,根据鸡、猪

的腿数之和是196,列方程.

列方程:解:设鸡的只数是x,则猪的头数为(70﹣x)头,

由题意得,2x 4(70﹣x)=196.

解方程: 2x 4(70-x)=196

解:

去括号,得: 2x 280-4x=196

移项,得: 2x-4x=196-280

合并同类项,得: -2x=-84

系数化为1,得: x=42

答: 鸡的只数是42只.

随手一试:(1)某工厂加强节能措施,去年下半年与上半年相比,月平均

用电量减少2000度,全年用电量15万度.求上半年每月平均用电量?

*(2)中国古代问题:有甲、乙两个牧童,甲对乙说:“把你的羊给我一只,

我的羊数就是你的羊数的2倍”.乙回答说:“最好还是把你的羊给我一只,

我们羊数就一样了”.求甲有多少只羊?

9.列一元一次方程解应用题:

读题分析法:多用于“和、差、倍、分”等问题

仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如:“大、小、多少、是、共、

合、为、完成、增加、减少、配套”之类的,利用这些关键字列出文字等式,

并且根据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式,得

到方程.

(例题分析): 某车间原计划13小时生产一批零件,后来每小时多生产10件,

用了12小时 不但完成任务,而且还多生产60件,设原计划每小时生产x件

零件,则所列方程为( )

A.13x=12(x 10) 60B.12(x 10)=13x 60

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分析:首先理解题意,找出题中存在的等量关系:实际12小时生产的零件数

=原计划13小时生产的零件数 60,根据此等式列方程即可.

解:设原计划每小时生产x个零件,则实际每小时生产(x 10)个零件.

根据等量关系列方程得:12(x 10)=13x 60.

故选B

随手一试:(1)某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共2000件.

已知捐给甲校的矿泉水件数比捐给乙校件数的2倍少400件.设该企业捐给

乙校矿泉水x件,则下列相等关系成立的是( )

A.2x﹣400=2000 B.2x 400=2000

C.2x﹣400=2000﹣xD.2x 400=2000﹣x

(2)某班共有学生x人,其中男生人数占35%,那么女生人数是( )

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画图分析法:多用于“行程问题”

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照

题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是

解决问题的关键,从而取得布列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可

把未知数看做已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础.

(例题分析):小明从家里骑自行车到学校,每小时骑15km,可早到10分钟,

每小时骑12km就会迟到5分钟,问他家到学校的路程是多少km?设他家到学

校的路程是xkm,则据题意列出的方程是( )

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分析:设他家到学校的路程是xkm,根据每小时骑15km,可早到10分钟,

每小时骑12km就会迟到5分钟,列方程即可

解:设他家到学校的路程是xkm,

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故选B.

随手一试:一艘货船从甲岸顺流而下到达乙岸再返回,已知船在静水中的速

度是40km/h,水流速度是10km/h,且从甲岸顺流到达乙岸比从乙岸逆流到达

甲岸所花的时间少1h.设从甲岸到达乙岸的路程为xkm 下列所列方程正

确的是( )

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10.实际问题的常见类型:

(1)行程问题:包括[相遇、追及(同时不同地出发、同地不同时出发)]

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(单位:路程—米、千米;时间—秒、分、时;速度—米/秒、米/分、

千米/小时)

(例题分析)某人从家里骑自行车到学校.若每小时行15千米,可比预定的时

间早到15分钟;若每小时行9千米,可比预定的时间晚到15分钟;求从家里到

学校的路程有多少千米?

分析:找出合适的等量关系,由题意可知,此人不管以多大的速度到达学校路

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解:设从家到学校有x千米,

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12x 45=20x﹣45

8x=90

解得, x=11.25

答:从家里到学校的路程有11.25千米.

随手一试:甲、乙两人绕湖竞走,绕湖一周4000m,乙的速度是80m/min,

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(例题分析)某项工作甲单独做4天完成,乙单独做6天完成,若甲先做1天,

然后甲,乙合作完成此项工作,求甲一共做了多少天?

分析:首先要理解题意找出题中存在的等量关系:甲完成的工作量 乙完成

的工作量=总的工作量,根据题意我们可以设总的工作量为单位“1“,

一元二次方程难学吗(总说二元一次方程不好学)(23)

根据效率×时间=工作总量的等式,分别用式子表示甲乙的工作量即可列出

方程.

解:设甲一共做了x天,则乙一共做了(x﹣1)天.

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随手一试:某工程,甲单独做12天完成,乙单独做8天完成.现在由甲先做3

天,乙再参加做,求完成这项工程乙还需要几天?

一元二次方程难学吗(总说二元一次方程不好学)(25)

(例题分析)某种商品的进价为每件180元,现按标价的九折销售时,利润率

为15.2%,求这种商品的标价为多少元?

分析:设这种商品的标价为每件x元,根据按标价的九折销售为0.9x,利润率

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解:设这种商品的标价为每件x元,

由题意得,0.9x﹣180=180×15.2%.

解得:x=230.4

答:这种商品的标价为230.4元.

随手一试:(1)某商人一次卖出两件衣服,一件赚了15%,另一件赔了15%,售

价均为1955元,则在这次生意中商人是赔了还是赚了?

(2)某电器按成本价提高30%后标价,再打八折销售,售价为2080元.求该电

器的成本价为多少元?

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(例题分析)李明五年前存了一份3000元的教育储蓄,今年到期时的本利和

为3600元,请你帮李明算一算这种储蓄的年利率.

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即可列出相关方程求解.

解:设年利率为x.

由题意得, 3000 3000×x×5=3600

解得, x=0.04

答;年利率为4%.

随手一试:小张以两种形式储蓄了500元,第一种的年利率为3.7%,第二种

的年利率为2.25%,一年后得到利息为15.6元,那么小张以这两种形式储蓄的

钱数分别是多少?

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(例题解析)某种酒精溶液里纯酒精与水的比例为1︰2,现在加进纯酒精120g

后配成浓度为75%的酒精溶液,问原有酒精溶液多少克?

一元二次方程难学吗(总说二元一次方程不好学)(30)

出方程.

设原来有酒精溶液为xg,则现在的酒精溶液为(x 120)g,水为2x.

解:设原来有酒精溶液为xg,

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解得, x=24

答:原来有酒精溶液为24g.

随手一试:一收割机收割一块麦田,上午收割了麦田的25%,下午收割了剩

下麦田的20%,结果剩下6公顷麦田未收割,这块麦田一共有多少公顷?

(6)顺逆流(顺逆风)问题:顺流速度=静水速度 水流速度,

逆流速度=静水速度-水流速度:

(例题解析)轮船沿江从A港顺流行驶到B港,比从B港返回A港少用3小时,若

船速为26千米/时,水速为2千米/时,求A港和B港相距多少千米?

分析:轮船沿江从A港顺流行驶到B港,则由B港返回A港就是逆水行驶,由于

船速为26千米/时,水速为2千米/时,则其顺流行驶的速度为26 2=28千米/时,

逆流行驶的速度为:26﹣2=24千米/时.根据“轮船沿江从A港顺流行驶到B港,

比从B港返回A港少用3小时”,得出等量关系:轮船从A港顺流行驶到B港所用

的时间=它从B港返回A港的时间﹣3小时,据此可列出方程

解:设A港和B港相距x千米,可得方程:

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答:AB两港相距504千米.

随手一试:一架飞机在A,B两城间飞行,顺风要5.5小时,逆风要6小时,

风速为24千米/小时.求A、B两城之间的距离?

(7)等积变形问题:长方体的体积=长×宽×高; 圆柱的体积=底面积×高;

(例题解析)有一块棱长为4厘米的正方体铜块,要将它熔化后铸成长4厘米、

宽2厘米的长方体铜块,铸成后的铜块的高是多少厘米(不计损耗)?

分析:本题涉及到等积变形,即:锻造前的体积=锻造后的体积 为出发点,

熔铸前的正方体体积与熔铸后的长方体体积相等。

解:设铸成后铜块高度为x.

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4×4×4=4×2×x

解得, x=8

答:铸成后铜块高度为8cm.

随手一试:一个长方形的周长为36厘米,若长减少4厘米,宽增加2厘米,长

方形变成正方形,求正方形的边长?

(8)周长、面积、体积问题:

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(例题解析)如图,矩形ABCD被分割成六个正方形,其中最小正方形的面积

等于1,则矩形ABCD的面积大小?

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解:∵最小正方形的面积等于1,

∴最小正方形的边长为1,

设右下角的正方形的边长为x.

∴AB=x 1 (x 2)=2x 3,BC=2x (x 1)=3x 1,

∵最大正方形可表示为2x﹣1,也可表示为x 3,

∴2x﹣1=x 3,

解得x=4,

∴AB=11,BC=13,

∴矩形的面积为11×13=143,

答:矩形ABCD的面积为143.

随手一试:在矩形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形,所标尺寸如图

所示,求小长方形的宽AE?

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二、(附加)含字母系数的方程与绝对值方程

<一>含字母系数的方程

1.关于x的方程ax=b

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(2)当a=0,b≠0时,方程无解;

(3)当a=0,b=0时,方程有无数个解,且解为任意数;

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A.x=0B.x=1C.x为任意数D.原方程无解

解:2(x-1) 6=3(x 1)-(x-1)

2x-2 6=3x 3-x 1

2x-3x x=3 1 2-6

0•x=0

∴原方程有无穷多解,x为任意数.

随手一试:解关于x的方程mx-m=nx

2.理解同解方程的定义,再解题:

(1)同解方程的定义为:如果两个方程的解相同,那么这两个方程叫同解方

程;反之如果两个方程是同解方程,那么这两个方程的解是一样的;例如

x 1=4与x 51=54的解都是x=3,这两个方程是同解方程;

一元二次方程难学吗(总说二元一次方程不好学)(39)

且这两个方程的解相同,求它们的解.()

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分析:分别将两个关于x的方程解出来,得到两个用含a的代数式表示的解,

根据同解方程的定义,列出等式,建立一个关于a的方程,然后解答.

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∵由于①和②是同解方程

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解得: a=2

把a=2代入4x﹣a=1得:4x﹣2=1,

一元二次方程难学吗(总说二元一次方程不好学)(43)

随手一试:若关于x的方程2x﹣4=3m和x 2=m有相同的解,则m的值是( )

A.10B.﹣10C.8D.﹣8

<二>绝对值方程

归纳1

解可化为|x|=a(a≥0)的绝对值的方程,只需把|x|看成一个整体,其余解题

步骤与解一元一次方程相同

(例题分析)19-|x|=100-10|x|

解:-|x| 10|x|=100-19

9|x|=81

|x|=9

x=±9

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归纳2

对于形如|ax b|=c(a≠0,a、b、c为常数)的方程,有下列三种情况:

(1)c>0,ax b=±c可求得两个解.

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(3)c<0,无解.

(例题解析)|2x 3|=5

解:由绝对值的意义知,|2x 3|=5

即是 2x 3=±5

由2x 3=5,解得x=1

由2x 3=-5,解得x=-4

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(2)解方程|3x 2|=10,方程的解为( )

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归纳3

对一次方程|ax b|=cx d,可将它变为ax b=±(cx d),并且检验cx d≥0来求

解(注意检验)

(例题解析)解方程:|3x 2|=5x-10

解:(解法一)当3x 2 ≥0时,原方程化为 3x 2=5x-10,

解得,x=6.

当3x 2 <0时,原方程化为 -(3x 2)=5x-10,

解得,x=1.

经检验,x=6位原方程的解.

(解法二) 有绝对值的意义知,|3x 2|=5x-10

即是,3x 2=5x-10 或 3x 2=-(5x-10)

其中,5x-10≥0

分别解这两个方程得:x=6或x=1

经检验,x=6位原方程的解

随手一试:

解方程 |4x-3|-2=3x a(其中|3a-5 4|=8)

,

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