数学直线与圆的位置关系教学设计（直线和圆的位置关系）

教学反思：直线和圆的位置关系

在前面学习了点和圆的位置关系之后，研究直线和圆的位置关系，方法是类似的，即确定不同位置中各元素间的数量关系。教学设计采用常规教学，使用了一体机上的希沃白板5和班级优化大师，这几乎是常态课的标配，分别用于板书和点评。

一、课堂复盘

导入部分就是太阳在海平面升起的截图，然后将太阳和海平面分别抽象成数学中的圆和直线，提出第一个问题，直线和圆总共有几种位置关系？依据是什么？

学生在课堂上表现基本在意料之中，回答有三种，以公共点的个数来判断，这符合提问初衷，在引入阶段，直观认知的确是以公共点的个数来判断的，如下图：

那么，直线和圆的位置关系能否用数量关系来判断呢？这需要分解整个关系中的各元素，对于圆来讲，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此它自身包含两个元素：圆心和半径，再加上直线，三个元素。

在引例一中，直线是固定的，半径是固定的，变化的只是圆心的位置，在这种情况下，我们需要关注的是圆心到直线的距离，即d的值；

三种结果：直线与圆相交时，d<r，直线与圆相切时，d=r，直线也圆相离时，d>r，反之亦然。

然后给出引例二，如下图：

现在动的是直线，圆心和半径相对确定。但是在拖动直线的过程中，除了提问直线与圆的位置关系之外，还多问了几个问题。

第一个问题：当直线从与圆O相离的位置平移，然后与圆相切，再与圆相交，继续平移，出现第二次相切，第二次相离，这是为什么？

很快便有学生回答，因为圆是轴对称图形，这个认知大体是正确的，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴，既然是平移，那么经过圆心且平行于这条直线的直线，就是圆的一条对称轴，在对称轴的一边发生过的事情，在另一边同样会发生，所以会出现第二次相切和第二次相离，更进一步，直线与圆相交后，弦的长度也有同样的规律。

第二个问题：改变直线的倾斜角度，再次重复上述过程，依然会有同样的结论，又是为什么？

沉默片刻之后，有学生回答，因为经过圆心的任何一条直线是圆的对称轴，很精彩，圆绕着圆心旋转任意角度，都能和自己重合。

这两个小问题，说明学生对于圆的基本概念掌握还是合格的。

引例三，圆心和直线确定下来，改变圆的半径，再次体会三种不同的位置关系，如下图：

三个引例，分别确定三个元素（圆心、直线、半径）中的两个，达到动态的效果，这也是未来和圆有关的压轴题经常用到的思路，埋下这个伏笔，以后好作文章。

新增一个环节是作圆的一条切线，因为在练习本上画切线，内涵是十分丰富的，尽管在后续章节还要深入研究切线，但这节课不妨作个尝试，或铺垫。

经过圆外一点作切线，在没有学习切线判定定理之前，本节课只需要根据定义作图，提示使用工具为直尺。

很快，学生便找到了方法，如下图：

让直尺经过点P，然后“靠”在圆上，作出一条圆的切线，至于为什么作出的直线是切线，留待下节课处理，会作图是第一步，又多问了一句，可以作几条？

很快便有了第二条，结论也得到了，经过圆外一点作切线，可以作两条；

经过圆上一点呢？是否也和刚才一样直尺就足够？

仔细看，这三次摆放直尺的位置都不同，然而却“看上去像”切线，如果此时提问，经过圆上一点可以作几条切线，相信有一部分学生真的认为可以作无数条。

然而思考之后，真相出来了。

我们依旧回到直线和圆相切的概念中，当d=r时，显然点P在圆上，连接OP就得到半径，那如何让OP也成为d呢？继续从概念入手，d是指圆心到直线的距离，距离，顾名思义，是一条垂线段，即直线与OP垂直，这就找到突破口了，过点P作OP的垂线，得到结果。可见没有半径OP的辅助，作图误差会大大增加。

这实质上也是下节课要进行的一项活动，提前预演，让学生多思考概念间的联系，也有一定帮助。

在练习环节，完成教材上的习题之后，增加了两道题，分别如下：

严格来讲，第一道题叙述上还存在一点小漏洞，即OE是否垂直于CD，需要说明，毕竟学生此时还没有学习切线定理。

这道题主要目的是让学生经历直线和圆相切，可以从两个方向分别相切，学会以后遇到类似问题，要分情况讨论；

第二道题含参数k，利用了含30°角的直角三角形的三边数量关系，后期可进一步改编为三角函数相关综合题。

课堂小结中，再次回顾本节课涉及到的概念如割线、切线、切点等，强调数学概念的记忆，不是背诵，而是做到脑中有图。

二、教学反思

作为直线与圆的位置关系的第一课时，重点是理解这种位置关系，会判断，能识图。三个基本元素给出其中两个，能根据需要判断不同的位置关系，这个部分的习题，再怎么变化，都在这个框架内。

在第2课时中，引入就相对容易得多，由于第1课时已经作过圆的切线，并且从几何直观上有初步的认知，现在到了该“知其所以然”的时候，在深入思考的过程中，展开第2课时的教学。

在第1课时的作业中，反映出来学生能够将比较d与r作为判断位置关系的依据，出现的错误主要存在于辨识d与r，这又涉及到前面圆的基本概念关于半径的描述：一个端点在圆心，另一个端点在圆上的线段，以及距离的描述。

从作业中反馈出来，学生对距离的认知层次上，最容易判断的是两点之间的距离，较难判断的是点到直线的距离。毕竟作垂线段，要求比连两点，操作上会多一点。

在作圆的切线时，第1课时要求并不多，通常情况下，学生拿直尺比一下，观察到只有一个公共点，就作出了切线，但这种作图经不起深究，所以设计问题，留下“隐患”下节课来解决，只有进一步学习了切线相关定理，才会返回来重新认识拿“直尺比一下”操作背后的数学原理，由知其然，到知其所以然。

本课结束时，学生能更进一步认知到，直线和圆的位置关系，可以用公共点个数来区分，同样也可以用d和r的数量关系来区分，那么教学目标已经圆满实现了。

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