一道让人崩溃的数学题（正常人撑不住5秒就放弃了）

数学题，用二阶线性微分方程，求出由电容器、感应器、电阻器构成的闭合电路中的电压及电流：

符号：电压u，电流i。第一步，列出二阶微分方程，LCu'' RCu' u=E（其中，u为电压，C为电容，R为电阻，L为感应系数，E为电动势）

[此方程由L×di/dt R×i u=E转变而来（di/dt表示“电流”i对“时间”t求导），将i化为u的过程如下：由于i=dq/dt，C=Q/U，即Q=UC，即q=uc，所以dq/dt化为d（uc）/dt，又因C是常数，常数可分离，所以电流i=dq/dt=d（uC）/dt=C×du/dt=C×u'（u'表示u的导数），即iR=Cu'R。∵i=Cu'，∴di/dt是C×u'对t求导，即为C×u''（u''表示u的二阶导数，即对u'求导）。原方程L×di/dt R×i u=E即化为LCu'' RCu' u=E，原方程的含义是，内部元件总的电压相加等于总的电势能]

第二步，消除二阶导数u''前的系数，等式两边同时除以LC，微分方程变为u'' R/L×u' 1/LC×u=E/LC。分别代入R，L，C，E的常数值于方程中，其中E单位V，C单位F（1F=10^6μF）（^表示“幂”的意思，如2^3=2³=2的3次方）（以下将多次用到，请牢记，^表示“幂”的含义），L单位H，R单位Ω，将微分方程的系数化为常数，算得，u'' 10^4×u' 5×10^7×u=10^9。

第三步，列出二阶微分方程的“特征方程”，将u''换为r²，u'换为r，u改为1，等式右边消为0，即是“特征方程”，列出一元二次方程：r² 10^4×r 5×10^7=0，求r的解（这一步是为了求出r的取值，代入可得“微分方程”的“通解”）。

如r有两个根，则分别记r1和r2，则微分方程的通解是C1×e^r1x C2×e^r2x（C1和C2分别表示任意常数。x仅指被求导的对象，如果导数为du/dt，则把x换为t）。

如只有一个根，r1=r2=r，则微分方程的通解是(C1 C2X)×e^rx。

如r为虚数根，表达式为r=α±iβ（i是虚数），则微分方程通解的表达式为e^αx×（C1×cosβx C2×sinβx）。

本题解得r=-5×10³±5×10³i，即r为虚数根，且α=-5×10³，β=5×10³，把x改为t，则通解为U=e^（-5×10³）t×[C1×cos（5×10³）t C2×sin（5×10³）t]

第四步，求“特解”，呼应通解，微分方程的“解”等于“通解”加“特解”，通解求出，来求“特解”，求特解时，等式右边还原函数多项式。（U*表示U的特解）设U*为微分方程的特解，假定U*等于三项未知数相乘。三项未知数根据等式右边函数的三项而确定，讲三看！一看，等式右边有无e，等式右边的乘式如果有e^λx元素（λ为任意常数），则U*的乘项中添加一项e^λx；二看，等式右边的函数关于X的最高次数，如是一次方，如X，则U的乘项中添加一项（ax b），如是二次方，如X²，则U*的乘项中添加一项（ax² bx c），x从最高次方依次递减，减到0次幂，前跟常项系数，依此类推；三看，右式中e^λx，λ的取值，将λ与r的根对照，如相等，λ等于r的一个根，则U*乘项中添一个X，λ等于r的两个根，则U*乘项中添一个X²，如不等，则不添。三项相乘，则将U*未知数的表达式求出。例如此题，右式为10^9，无e，因e^0x=1，则λ=0，即λ≠-5×10³±5×10³i，则不添X。又，∵右式e^λx=e^0x=1，则U*乘项添1。右式无X，即为Xº，则左式设单一常数A，1×A=A，即U=A

第五步，将u=A代入微分方程u'' 10^4×u' 5×10^7×u=10^9中，即A'' 10^4×A' 5×10^7×A=10^9，得A=20，U*=20，则U=e^（-5×10³）t×[C1×cos（5×10³）t C2×sin（5×10³）t] 20（通解 特解）

第六步，求出C1与C2的具体取值，代入“初值条件”，当t=0时，u=0，∵初始电压为0。再代入t=0时，u'=0，∵初始电流i=0，而电流i=C×u'，C≠0，即u'=0。再将方程式U=e^（-5×10³）t×[C1×cos（5×10³）t C2×sin（5×10³）t] 20求导，得U'=e^（-5×10³）×[（-5×10³×C1 5×10³×C2）×cos（5×10³）t （-5×10³×C2-5×10³×C1）×sin(5×10³）t]，将t=0时，u=0，u'=0代入解析式，得出C1=-20，C2=-20，将C1和C2代入U中，即U=-20×e^(-5×10³)t[cos（5×10³）t sin（5×10³）t] 20（V)，U得出。

求电流i，∵i=C×u'，即，u'=e^（-5×10³）×(-20)×（-10×10^3）×sin（5×10³)t，C=0.2×10^-6（法），

代入得i=4×10^（-2）×e^（-5×10³）t×sin（5×10³)t（A），i得出。

（高数课后随堂小测验，据说是“基础中的基础”？）