圆盘上滑块圆周运动问题（竖直面内的圆周运动问题）

1. 轻绳模型

绳或光滑圆轨道的内侧，如图所示，它的特点是：在运动到最高点时均没有物体支撑着小球。下面讨论小球(质量为m)在竖直平面内做圆周运动(半径为R)通过最高点时的情况：

(1) 临界条件

小球到达最高点时受到绳子的拉力恰好等于零，这时小球做圆周运动所需要的向心力仅由小球的重力来提供。根据牛顿第二定律得，

这个速度可理解为小球恰好通过最高点或恰好通不过最高点时的速度，也可认为是小球通过最高点时的最小速度，通常叫临界速度。

(2) 小球能通过最高点的条件：

当v>√Rg时，小球能通过最高点，这时绳子对球有作用力，为拉力。

当v＝√Rg时，小球刚好能通过最高点，此时绳子对球不产生作用力。

(3) 小球不能通过最高点的条件：

当v<√Rg时，小球不能通过最高点，实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了轨道。（如图）

2. 轻杆模型

杆和光滑管道，如图所示，它的特点是：在运动到最高点时有物体支撑着小球。下面讨论小球(质量为m)在竖直平面内做圆周运动(半径为R)通过最高点时的情况：

(1) 临界条件

由于硬杆的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度是：v_临界＝0。

此时，硬杆对物体的支持力恰等于小球的重力mg。

(2) 如上图所示的小球通过最高点时，硬杆对小球的弹力情况为：

当v＝0时，硬杆对小球有竖直向上的支持力F_N，其大小等于小球的重力，即F_N＝mg.

当0<v<√Rg时，杆对小球的支持力竖直向上，大小随速度的增加而减小，其取值范围为0<F_N<mg.

当v＝√Rg时，F_N＝0.这时小球的重力恰好提供小球做圆周运动的向心力。

当v>√Rg时，硬杆对小球有指向圆心(即方向向下)的拉力，其大小随速度的增大而增大。

3. 两种模型分析比较如下：

4. 分析物体在竖直平面内做圆周运动时的易错易混点

（1）绳模型和杆模型过最高点的临界条件不同，其原因是绳不能有支撑力，而杆可有支撑力。

（2）对杆模型，在最高点有时不知是支撑力或拉力，此时可用假设法，然后根据结果的正负再确定。

（3）解答竖直平面内的圆周运动时，首先要搞清楚是什么模型，对不同模型的临界条件分析受力，找到向心力的来源。

5. 竖直面

内圆周运动的求解思路

【典例探究】

1. 轻绳模型

【典例1】如图所示，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球。现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。已知水平地面上的C点位于O点正下方，且到O点的距离为1.9L。不计空气阻力。

(1)求小球通过最高点A时的速度v_A；

(2)若小球通过最低点B时，细线对小球的拉力F_T恰好为小球重力的6倍，且小球经过B点的瞬间细线断裂，求小球的落地点到C点的距离。

【典例2】 为了研究过山车的原理，某物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方向夹角为θ＝60°，长为L₁＝2√3m的倾斜轨道AB，通过微小圆弧与长为L₂＝√3/2 m的水平轨道BC 相连，然后在C 处设计一个竖直完整的光滑圆轨道，出口为水平轨道D，如图所示。现将一个小球从距A 点高为h ＝0.9 m 的水平台面上以一定的初速度v₀ 水平弹出，到A 点时速度方向恰沿AB 方向，并沿倾斜轨道滑下。已知小球与AB和BC 间的动摩擦因数均为μ＝√3/3。g取10 m/s²，求：

(1) 小球初速度v₀的大小；

(2) 小球滑过C点时的速率v_C；

(3) 要使小球不离开轨道，则竖直圆弧轨道的半径R应该满足什么条件。

2. 轻杆模型

【典例3】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v²图象如图乙所示，则( )

【典例4】如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是( )

A. 小球通过最高点时的最小速度 v_min＝√g(R r)

B. 小球通过最高点时的最小速度v_min＝0

C. 小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力

D. 小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力

【针对训练】

1. 如图所示，质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则( )

A．在最高点小球的速度水平，小球既不超重也不失重

B．小球经过与圆心等高的位置时，处于超重状态

C．盒子在最低点时对小球弹力大小等于2mg，方向向上

D．该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于2πg√R/g

2.(多选)如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r ＝0.4 m，最低点处有一小球(半径比r小很多)，现给小球一水平向右的初速度v₀，则要使小球不脱离圆轨道运动，v₀ 应当满足(g ＝10 m/s² )( )

3.(多选)如图所示，长为l的细绳一端固定在O点，另一端拴住一个小球，在O点的正下方与O点相距 1/2 的地方有一枚与竖直平面垂直的钉子；把小球拉起使细绳在水平方向伸直，由静止开始释放，当细绳碰到钉子的瞬间，下列说法正确的是( )

A．小球的线速度不发生突变 B．小球的角速度不发生突变

C．小球的向心加速度突然增大到原来的2倍 D．绳子对小球的拉力突然增大到原来的2倍

4.在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到转轴的距离为r，如图所示。为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮的转动角速度不能超过( )

5.用长L ＝ 0.6 m的绳系着装有m ＝ 0.5 kg水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。G ＝10 m/s²。求：

(1) 最高点水不流出的最小速度为多少？

(2) 若过最高点时速度为3 m/s，此时水对桶底的压力多大？

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