初中几何定理求圆（初中几何11圆的弦与弧）

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦。

弦有以下几个性质：

等弦对等角（圆周角或圆周角）。（这个在前面章节已说明）

弦心距平分弦。

在一个圆中，圆心到该圆的任一弦的距离，叫做这一弦的弦心距。

这个利用等腰三角形性质很容易证明。

弦心距相等弦相等。（OC=OF ⇔ AB=DF）

通过直角三角形证明。

相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）

即DA⋅AE = BA⋅AC

这个性质用得比较多，在一个圆周两条弦构成两个相似三角形。

证明如下：

∵ 等弧对等角

∴ ∠1 = ∠2，且对顶角相等

∴ △ABD ∽ △AEC

∴ AB : AE = DA : CA

交换一下可得：

DA⋅AE = BA⋅AC

证明完毕

2021年上海中考题：

（1）E，F为AB和CD中点，通过等弦对等弦心距，OE = OF且OE⊥AB，OF⊥CD

∴ △OEP ≌ △OFP

∴ OP为∠EPF角平分线，且EP=FP，在等腰△EPF中三线合一

∴ OP⊥EF

证明完毕

（2）∵ AB = CD

∴ 弧BA = 弧DC，

∴ 弧BC = 弧DA

∴ ∠CAB = ∠ACD

且FC = EA

∴ △EAC ≌ △FCA

∴ ∠1 = ∠4

又∵ AF∥OP，∴ ∠1 = ∠2

∠2 = ∠3

∴ ∠4 = ∠3

∴ CE∥OP

∴CE∥AF，且AF=CE，CF=EA（平行四边形中对角线相等，为矩形）

∴四边形ACEF为矩形

证明完毕

垂径定理

垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。数学表达为：如下图，直径DC垂直于弦AB，则AE等于EB，弧AD等于弧BD（包括优弧与劣弧），半圆CAD等于半圆CBD。

证明如下：

∵ OA = OB，且OE⊥AB

∴ ∠AOE = ∠BOE

∴ 弧AD = 弧BD

∴ 弧AC = 弧BC

证明完毕

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