零点定理以及证明（关于零点定理）

这是一个高考喜欢考但却比较少考的考点。

如果函数f(x)在区间[a,b]连续，且f(a)⋅f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)至少有一个零点。

理解非常简单。如图，点A(a,f(a))在x轴下方，点B(b,f(b))在x轴上方，显然，函数图像必然要穿过x轴，每穿过一次，其交点横坐标就是函数f(x)的零点。

我们可以利用这个定理来判断方程根的存在，甚至强化这个定理就发展出二分法。

高考通常会这样考。

如果函数f(x)=...有一个零点x ，则x 在（ ）区间。

A. B. C. D.

解法不啰嗦，定理的证明却非常艰难。这正符合了我们对好数学的定义：理解容易，证明困难，威力巨大。我很喜欢这个定理。

从这个定理出发，我们还可以（猜出）类比出其他的性质。

比如这样

猜测1、如果函数f(x)在区间[a,b]连续，且f(a)=A,f(b)=B，则对于A,B之间的任何一个数C，方程f(x)=C至少有一个根。

要得到猜测1很容易，把零点定理的图歪一下就是了。

猜测2、如果函数f(x)在区间[a,b]连续，可导，且f(a)=f(b)，则区间(a,b)上至少存在一个点x0，使f'(x0）=0

要得到猜测2也很容易，把零点定理的图变光滑就是。

猜测3、如果函数f(x)在区间[a,b]连续，可导，则区间(a,b)上至少存在一个点x0，使得

要得到猜测3，只要将猜测2的图歪一歪即可。

猜测4、如果函数f(x),g(x)都在区间[a,b]连续，可导，则区间(a,b)上至少存在一点x0，使得

猜测4不容易想到，所以比较厉害了，实际上是代入了参数方程。

咱也不要证明，证明好啰嗦，猜应该是很容易的哦，看看图就猜到了。的确，数学家都是这样先猜出来，再慢慢想办法证明的，你猜到了，就说明你有做数学家的潜能啊。

中学学过的那个叫做零点定理，猜测1叫做介值定理，猜测2叫做罗尔中值定理，猜测3比较有名，叫拉格朗日中值定理，猜测4最牛逼，叫柯西中值定理。